Considerando que a expressão  seja independente na variável ...

Para que uma expressão racional seja independente de x, todos os termos em x no numerador e no denominador devem se anular. Isso ocorre quando os coeficientes de cada potência de x no numerador são iguais a zero.

Coeficiente de x³: a - 1

Coeficiente de x²: b - 2

Coeficiente de x: c - 3

a = 1

b = 2

c = 3

1 + 2 + 3 = 6

A soma a + b + c é um quadrado perfeito: Verdadeiro, pois 6 = 3².

fonte: gemini

Diferente da resposta do gemini no comentário do missiquis, não podemos simplesmente igualar todos os coeficientes do numerador, pois no denominador ainda teríamos a incógnita x. Ao invés disso devemos encontramos coeficientes que sejam múltiplos dos coeficientes dos numeradores e que sejam proporcionais a uma variável k.

Primeiramente organizamos a razão

[(a-1)³ + (b-2)x² + (c-3)x + 8] / [2x² + 3x + 4] = k

k sendo um número real

Percebemos que no numerador temos um termo cúbico mas não temos no numerador. Então esse é o único que podemos de fato anular.

a - 1 = 0

a = 1

Em relação ao outros coeficientes vamos dividir os seus correspondentes de mesmo grau

(b-2) / 2 = k

b - 2 = 2k

b = 2k +2

(c-3)/3 = k

c - 3 = 3k

c = 3k + 3

8 / 4 = k = 2

Com isso encontramos "b" e "c"

b = 2 . 2 + 2 = 4 + 2 = 6

c = 3 . 2 + 3 = 6 + 3 = 9

Agora com os valores de a, b, c, temos a razão encontrada e demostramos que seu valor é 2

[(1-1)x³ + (6-2)x² + (9-3)x + 8)] / [2x² + 3x + 4]

[0x³ + 4x² + 6x + 8] / [2x² + 3x + 4]

[4x² + 6x + 8] / [2x² + 3x + 4]

2 . [2x² + 3x+4] / [2x² + 3x + 4]

2

Então, temos que

a + b + c = 1 + 6 + 9 = 16

Testando cada alternativa

a) 16 não é primo pois apresenta divisores diferentes de 1 e de si mesmo, além de ser um número par maior que 2.

b) É par mas não tem 3 algarismos

c) Não é nem ímpar nem tem 3 algarismos

d) De fato é quadrado perfeito, pois 16 = 4². Para quem não sabe, um quadrado perfeito é um numero natural que é o resultado do quadrado de algum número, ou seja, é um número natural cuja raiz quadrada resulta em número natural (ex: 1, 4, 9, 16, 25 ...)

Gabarito D)