O sétimo termo de uma progressão geométrica de razão 2 é ig...

Fórmula Geral de Progressão Geométrica: g_n = g₁ × q^(n-1)

Sendo que:

g_n é qualquer termo da progressão geométrica

g₁ é o primeiro termo da progressão geométrica

n é a posição do termo na progressão geométrica

q é a razão da progressão geométrica, no caso q = 2

Fórmula Geral de Progressão Aritmética:  a_n = a₁ +  (n-1) × r

Sendo que:

a_n é qualquer termo da progressão aritmética

a₁ é o primeiro termo da progressão aritmética

n é a posição do termo na progressão aritmética

r é a razão da progressão aritmética, no caso -5

Resolução do Problema

Vamos descobrir qual é o primeiro termo da progressão geométrica usando o seu sétimo termo apresentado pelo enunciado, quando g₇ = 768

(1º) g₇ = g₁ × q^(7-1)

(2º) 768 = g₁ × 2^(7-1)

(3º) 768 = g₁ × 2⁶

(4º) 768 = g₁ × 64

(5º) g₁ = 768 ÷ 64

(6º) g₁ = 12

Assim, se o primeiro termo da progressão geométrica é 12 o segundo termo dela será 12 multiplicado pela razão: g₂ = g₁ × q

(1º) g₂ = 12 × 2

(2º) g₂ = 24

Se o segundo item da progressão geométrica é igual ao quarto termo da progressão aritmética, temos que:  g₂ = a₄ , ou seja, a₄ = 24

Para de descobrir o primeiro termo da progressão aritmética usaremos o seu quarto termo (a₄)

(1º) a₄ = a₁ + r(4-1)

(2º) 24 = a₁ + (-5)(4-1)

(3º) 24 = a₁ + (-5)(3)

(4º) 24 = a₁ + (-15)

(5º) 24 = a₁ – 15

(6º) a₁ = 24 + 15

(7º) a₁ = 39

O que a questão quer é o produto dos primeiros termos das progressões aritmética e geométrica, ou seja, g₁ × a₁

12 × 39 = 468

Normalmente se usa a nas duas fórmulas, mas achei melhor separar para não causar confusão.

PG

A7=A1*q^6

768=A1*2^6

A1=12

A2=A1*q^1

A2=12*2=24

Como o 2° termo da PG é igual ao 4° termo da PA: A2=a4

a4=a1+3r

24=a1+3*(-5)

a1=39

A1*a1= 12*39=468

LETRA B

Questão boa! Letra B
Nem precisaria tanto da fórmula porque são poucos termos a serem encontrados. Na PG, por exemplo, se for dividido o sétimo termo pela razão (=2) encontraria os termos antecessores. Depois, encontraria o primeiro termo da PA.
A razão "-5" é para identificar que a progressão aritmética é decrescente. Então, a razão é somada par encontrar os termos anteriores da PA ;)

Localizamos primeiramente os termos da PG

A7=A1*q^6

768=A1*2^6

A1=12

A2=A1*q^1

A2=12*2=24

Obtido o segundo termo da PG (= quarto termo da PA) 

a4=a1+3r

24=a1+3*(-5)

a1=39

A1*a1= 12*39=468

LETRA B