Considere uma amostra aleatória de n variáveis X1, X2, ..., ...

Agora, vamos analisar suas propriedades:

Não tendencioso (não viesado): Um estimador é não tendencioso se a esperança do estimador for igual ao parâmetro que está sendo estimado. Vamos calcular E(μ^):

E(μ^)=E(1/n2∑Xi)

Pela linearidade da esperança, temos:

Dado que Xi​ segue uma distribuição normal com média μ, temos E(Xi)=μ. Então:

=1/n2∑nμ=μ/n

Como E(μ^)=μ/n, vemos que o estimador é tendencioso.

Consistente: Um estimador é consistente se converge para o valor real do parâmetro à medida que o tamanho da amostra aumenta. Vamos verificar isso:

Pela Lei dos Grandes Números, se X1,X2,…,Xn​ são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) com média μ e variância σ2, então a média amostral Xˉ=1/n∑Xi converge em probabilidade para a média populacional μ à medida que nn tende ao infinito, ou seja:

lim⁡n→∞P(∣Xˉ−μ∣<ϵ)=1para todo ϵ>0

Portanto, μ^​ é uma função da média amostral Xˉ, que sabemos convergir em probabilidade para μ pela Lei dos Grandes Números. Assim, podemos concluir que μ^​ também converge em probabilidade para μ à medida que nn tende ao infinito.

Portanto, o estimador é consistente.