Considere a sucessão dos infinitos múltiplos positivos de 4,...

Até a 168ª posição estão escritos todos os números de um ou dois algarismos. Há 2 números com um algarismo e 22 com dois. Esta última quantidade é o total de termos da progressão aritmética 12, 16,..., 96: 96 = 12 + (n - 1)*4 => n = 22. Até o número 96 temos 2 + 2*22 = 46 algarismos e restam 168 - 46 = 122. Para completar o que falta, é necessário e suciente escrever os primeiros 41 múltiplos de três algarismos, pois 122 = 3*40+2. O algarismo procurado é o das dezenas do 41º múltiplo de três algarimos: 100 + (41 - 1)*4 = 260. O algarismo na 168ª posição é o 6.Letra A.Opus Pi.

Olá pessoal. Atendendo a pedidos, vou tecer comentários mais detalhados da solução que coloquei abaixo.À medida que escrevemos sucessivamente os múltiplos de 4, conforme o molde da questão, vão-se esgotando, primeiro, os múltiplos com apenas um algarismo; depois, esgotam-se os com dois algarismos; depois os com três e assim sucessivamente. A questão exige que analisemos o algarismo na 168ª posição.Pois bem, vamos aos detalhes:- Os múltiplos de 4 com apenas um algarismo são 4 e 8 (excluimos o 0 por exigência da questão, que começa com o 4). Assim, escrevemos 2 algarismos (ou seja, dois múltiplos).- Os múltiplos de 4 com apenas dois algarismos são 12, 16, 20, 24, ..., 92, 96. Quantos temos? Eles formam uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo a1 = 12, razão r = 4 e último termo an = 96. Usando a expressão do termo geral de uma PA, an = a1 + (n-1)*r, temos 96 = 12 + (n-1)*4, de onde se tira n = 22, ou seja, o total de múltiplos com dois algarismos é 22, portanto, temos 44 = 2*22 algarismos.Até o 96 são escritos 2 + 44 = 46 algarismos.- Se fizermos de modo análogo, a quantidade de múltiplos com três algarismos (100, 104, 108, ..., 992, 996) é n tal que 996 = 100 + (n-1)*4 => n = 225. Isso significa que de 100 a 996 são escrito 3*225 = 675 algarismos. Ora, só queremos ir até a posição 168. Consequentemente, esta posição certamente ocorre na escrita de algum múltiplo com três algarismos.- Vimos que até 96 já escrevemos 46 algarismos. Para chegar a 168, faltam ainda 168 - 46 = 122. Percebemos que ser escrevermos os 40 primeiros múltiplos com três algarismos, serão escritos 3*40 = 120 algarismos. Se escrevemos mais um teremos 123 algarismos (mas só precisamos ir até o 122). O que isso quer dizer? Que temos que parar a escrita no algarismo da dezena do 41º múltiplo. Pronto! Basta que encontremos tal número: an = 100 + (41 - 1)*4 = 260. Logo, temos que para na escrita do algarismo 6.Opus Pi.

Bom, pessoal resolvi assim

4,8,12.......

Posição 168 e multiplo  de 4

T= 168

Vamos contar os algarismos

4 a 8= 2

T= 168-2= 166

12........................96 (último multiplo de 4 com 2 algarismos)

96-12/4 + 1 = 22  ( Ultimo menos o 1º depois divide po 4 - multiplo  e depois somamos +1 no final)

22*2= 44

T= 166-44= 122

100.............................................252

252-100/4+1= 39

39*3= 117

T= 122-117= 5,

Agora só contar

256 2 6 0

        168ª

Eu preferi usar o termo geral da P.A. ( an = a1 +(n - 1).r )

an=?
a1=4  (Primeiro digito)
n=168
r=4 (razão)

an=4 + (168 - 1).4 
an=4+668
an=672 

O primeiro 6 é a 168° posição. Portanto letra A.

Basilio Jr. , eu entendi a resolução da PA, mas pq "O primeiro 6 é a 168° posição"? Como vc descobriu isso?

Obrigado.

Ahh, já entendi, valeu! ... Simplesmente por ser o 1° algarismo do número ocupante da posição 168. Na verdade, agora que entendi a pergunta, rsrs

Eu também achei mais fácil resolver a questão utilizando P.A.
Vejamos:
P.A: an = a1 + (n-1) . r
P.A: a168 = 4 + (168 - 1) . 4
P.A: a168 = 4 + (167.4)
P.A: a168 = 4 + 668
P.A: a168 = 672

Portanto, a 168ª posição deve ser ocupada pelo algarismo 6 - letra A.
Vale uma correção ao comentário do Basilio Jr.
Veja, apesar de ter encontrado o resultado correto no gabarito, o resultado da P.A é 672 e não 676. Acredito que vc deva ter somado o 4 duas vezes. Bons estudos! ;)