Na expressão log +log +log +⋯+log , o resultado é igual a:

Vamos resolver a questão envolvendo logaritmos. O enunciado nos fornece uma soma de logaritmos: log(1/2) + log(2/3) + log(3/4) + ... + log(99/100).

Tema Central: Esta questão explora a propriedade dos logaritmos que permite transformar a soma de logaritmos em um logaritmo único de um produto. É essencial ter conhecimento sobre as propriedades dos logaritmos, especialmente a que diz: log(a) + log(b) = log(a * b).

Resumo Teórico: A propriedade dos logaritmos usada aqui é fundamental para simplificar expressões. Quando temos uma soma de logaritmos, podemos transformá-la em log do produto dos números dentro dos logaritmos. Assim, a expressão log(1/2) + log(2/3) + log(3/4) + ... + log(99/100) se transforma em log((1/2) * (2/3) * (3/4) * ... * (99/100)).

Justificando a Alternativa Correta: Vamos analisar o produto (1/2) * (2/3) * (3/4) * ... * (99/100). Cada fração tem um numerador que é cancelado pelo denominador da próxima, formando uma série telescópica. Restam apenas o numerador do primeiro e o denominador do último termo, resultando em 1/100. Assim, a expressão se torna log(1/100).

Utilizando a propriedade do logaritmo, temos: log(1/100) = log(10^(-2)). Isso nos dá -2 ao aplicar a propriedade log(a^b) = b * log(a). Portanto, a resposta correta é a alternativa D - -2.

Análise das Alternativas Incorretas:

A - -1: Essa alternativa estaria correta se o produto final fosse 1/10, mas como vimos, não é o caso.

B - 1: Para resultar nesta alternativa, o produto dos termos deveria ser 10, o que não ocorre.

C - 2: A alternativa sugere um produto de 100, o que definitivamente não é a situação encontrada.

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O enunciado é log(1/2) + log(2/3) + log(3/4) + ... + log(99/100).