Lança-se uma moeda honesta três vezes. Sejam os eventos: ...

• P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos.

Evento A (sair duas caras ou três caras):

1. Probabilidade de sair duas caras:

• A sequência pode ser CCX, CXC ou XCC, onde C representa cara e X representa coroa.
• A probabilidade de cada uma dessas sequências é (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8.
• Como há três maneiras de obter duas caras, a probabilidade total de sair duas caras é 3 * (1/8) = 3/8.

1. Probabilidade de sair três caras:

• Há apenas uma maneira de obter três caras: CCC.
• A probabilidade é (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8.

Portanto, a probabilidade de A é a soma dessas probabilidades:

P(A) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.

Evento B (os dois primeiros resultados são iguais):

1. Probabilidade de que os dois primeiros resultados sejam cara:

• A sequência pode ser CCX, onde X representa coroa.
• A probabilidade é (1/2) * (1/2) = 1/4.

1. Probabilidade de que os dois primeiros resultados sejam coroa:

• A sequência pode ser XXC, onde X representa coroa.
• A probabilidade é (1/2) * (1/2) = 1/4.

Portanto, a probabilidade de B é a soma dessas probabilidades:

P(B) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2.

Dois eventos são independentes quando o fato de saber que um evento ocorreu não altera a probabilidade do outro evento. Logo, os eventos A e B são independentes.

Dois eventos são eventos mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo, como o evento A e o B podem ocorrer ao mesmo tempo, eles não são mutuamente exclusivos.

→ (D)

Vamos calcular as probabilidades dos eventos AAA e BBB e verificar suas dependências.

Para uma moeda justa lançada três vezes, o espaço amostral Ω é:

Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}

Cada resultado tem probabilidade 1/8

Contando os eventos favoráveis a A:

• Duas caras: HHT, HTH, THH
• Três caras: HHH

Número total de eventos favoráveis: 3+1=4

Portanto:

P(A)=4/8=0,5

Para os dois primeiros resultados serem iguais, temos:

• HH_ (terceiro pode ser qualquer um): HHH, HHT
• TT_ (terceiro pode ser qualquer um): TTH, TTT

Número total de eventos favoráveis: 2+2=4

Portanto:

P(B)=4/8=0,5

Vamos calcular a probabilidade de A∩BA , ou seja, a probabilidade de sair duas ou três caras e os dois primeiros resultados serem iguais.

• Se os dois primeiros resultados forem iguais e saírem duas caras ou três caras:
• Se os dois primeiros forem HH: os resultados favoráveis são HHH (3 caras) e HHT (2 caras).
• Se os dois primeiros forem TT: o único resultado favorável é TTT (3 caras).

Número total de eventos favoráveis a A∩BA

Portanto:

P(A∩B)=3/8

Para verificar a independência, precisamos checar se:

P(A∩B)=P(A)×P(B)

Calculando P(A)×P(B)

P(A)×P(B)=0,5×0,5=0,25

Como P(A∩B)=3/8=0,375≠0,25, os eventos A e B não são independentes.

Eventos são mutuamente exclusivos se P(A∩B)=0, os eventos A e B não são mutuamente exclusivos.

A alternativa correta é: E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos.