Considerando duas variáveis, X e Y, cujas variâncias da dife...

Justificativa da cespe:

Sabe-se que Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X, Y) = 7

e que Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) = 5.

Ao se somarem as variâncias da soma e da diferença, Var(X − Y) + Var(X + Y), obtém-se o seguinte cálculo.

Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X, Y) + Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) =

2Var(X) + 2Var(Y) = 12

Var(X) + Var(Y) = 6.

Sabendo-se que a variância será sempre positiva, então Var(X) deverá ser menor que 6.

Como eu resolvi (caso houver algum erro me avisem):

Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X, Y) = 7

Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) = 5 (multipliquei por -1) para eu cortar as igualdades

=

Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X, Y) = 7

-Var(X) -Var(Y) - 2Cov(X, Y) = -5

logo:

-4Cov(X, Y) = 2

Cov(X, Y) = -0,5

jogando esse valor da Cov(X, Y) você encontrará o mesmo resultado.

Var(X) + Var(Y) = 6.

Informações dadas:

• Var(X - Y) = 7
• Var(X + Y) = 5

Fórmulas importantes:

• Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y)
• Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)

Onde Cov(X, Y) representa a covariância entre X e Y.

Resolução:

Temos o seguinte sistema de equações:

1. Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y) = 7
2. Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) = 5

Somando as duas equações, eliminamos o termo com a covariância:

2Var(X) + 2Var(Y) = 12

Dividindo por 2:

Var(X) + Var(Y) = 6 (Equação 3)

Agora, subtraindo a equação (1) da equação (2), eliminamos Var(X) e Var(Y):

[Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)] - [Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y)] = 5 - 7

4Cov(X, Y) = -2

Cov(X, Y) = -0,5

Substituindo o valor da covariância na equação (1):

Var(X) + Var(Y) - 2*(-0,5) = 7 Var(X) + Var(Y) + 1 = 7 Var(X) + Var(Y) = 6 (Confirmando a equação 3)

Para encontrar Var(X), precisamos de mais uma equação. Podemos usar a equação (2) e substituir o valor da covariância:

Var(X) + Var(Y) + 2*(-0,5) = 5 Var(X) + Var(Y) - 1 = 5 Var(X) + Var(Y) = 6 (Novamente confirmando a equação 3)

Não temos informações suficientes para determinar os valores individuais de Var(X) e Var(Y). Apenas sabemos que a soma deles é 6.

O enunciado original pedia a correlação, que conseguimos achar pois o sinal da covariância já nos dava essa informação. Para achar as variâncias individuais, precisamos de mais informações.

Exemplo:

Se Var(X) = 4, então Var(Y) = 2, e a soma continua sendo 6. Se Var(X) = 2, então Var(Y) = 4, e a soma continua sendo 6.

Conclusão:

A questão pede "A variância de X é igual a...". Com as informações fornecidas, não é possível determinar um valor único para a variância de X. Apenas sabemos que Var(X) + Var(Y) = 6. Portanto, a afirmação de que a variância de X é igual a um valor específico seria incorreta sem informações adicionais.

Informações dadas:

• Var(X - Y) = 7
• Var(X + Y) = 5

Fórmulas importantes:

• Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y)
• Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)

Onde Cov(X, Y) representa a covariância entre X e Y.

Resolução:

Temos o seguinte sistema de equações:

1. Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y) = 7
2. Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) = 5

Somando as duas equações, eliminamos o termo com a covariância:

2Var(X) + 2Var(Y) = 12

Dividindo por 2:

Var(X) + Var(Y) = 6 (Equação 3)

Agora, subtraindo a equação (1) da equação (2), eliminamos Var(X) e Var(Y):

[Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)] - [Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y)] = 5 - 7

4Cov(X, Y) = -2

Cov(X, Y) = -0,5

Substituindo o valor da covariância na equação (1):

Var(X) + Var(Y) - 2*(-0,5) = 7 Var(X) + Var(Y) + 1 = 7 Var(X) + Var(Y) = 6 (Confirmando a equação 3)

Para encontrar Var(X), precisamos de mais uma equação. Podemos usar a equação (2) e substituir o valor da covariância:

Var(X) + Var(Y) + 2*(-0,5) = 5 Var(X) + Var(Y) - 1 = 5 Var(X) + Var(Y) = 6 (Novamente confirmando a equação 3)

Não temos informações suficientes para determinar os valores individuais de Var(X) e Var(Y). Apenas sabemos que a soma deles é 6.

O enunciado original pedia a correlação, que conseguimos achar pois o sinal da covariância já nos dava essa informação. Para achar as variâncias individuais, precisamos de mais informações.

Exemplo:

Se Var(X) = 4, então Var(Y) = 2, e a soma continua sendo 6. Se Var(X) = 2, então Var(Y) = 4, e a soma continua sendo 6.

Conclusão:

A questão pede "A variância de X é igual a...". Com as informações fornecidas, não é possível determinar um valor único para a variância de X. Apenas sabemos que Var(X) + Var(Y) = 6. Portanto, a afirmação de que a variância de X é igual a um valor específico seria incorreta sem informações adicionais.

Sem resenha nenhuma, se eu estiver em uma prova e conseguir pensar nessa resolução e acertar uma questão dessa. Vou me achar a pessoa mais inteligente do mundo.

ESTATÍSTICA É UM TERROR DE MATÉRIA

Assim fica mais fácil!

X - Y = 7

X + Y = 5

Então:

x = 5 - y

Substitui na outra formual e encontra: y = - 1 e x = 6

errado

Chat GPT confimou: Sim, é possível resolver de forma simples usando a substituição