Considerando duas variáveis, X e Y, cujas variâncias da dife...

Informações dadas:

• Var(X - Y) = 7
• Var(X + Y) = 5

Fórmulas importantes:

• Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y)
• Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)

Onde Cov(X, Y) representa a covariância entre X e Y.

Resolução:

Podemos montar um sistema de equações com as informações fornecidas:

1. Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y) = 7
2. Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) = 5

Somando as duas equações, eliminamos o termo com a covariância:

2Var(X) + 2Var(Y) = 12

Dividindo por 2:

Var(X) + Var(Y) = 6

Substituindo esse resultado na segunda equação original:

6 + 2Cov(X, Y) = 5

2Cov(X, Y) = -1

Cov(X, Y) = -0,5

Calculando a Correlação Linear (ρ):

A correlação linear (ρ) entre X e Y é dada por:

ρ = Cov(X, Y) / (√Var(X) * √Var(Y))

Precisamos encontrar Var(X) e Var(Y) individualmente. Temos:

Var(X) + Var(Y) = 6 Cov(X,Y) = -0.5

Substituindo Cov(X,Y) = -0.5 na primeira equação original:

Var(X) + Var(Y) - 2*(-0.5) = 7 Var(X) + Var(Y) + 1 = 7 Var(X) + Var(Y) = 6 (o que já tínhamos)

Para determinar o sinal da correlação, não é necessário calcular os valores exatos de Var(X) e Var(Y). Já sabemos que a Cov(X,Y) é negativa (-0.5). Como Var(X) e Var(Y) são sempre positivos (ou no mínimo zero), a raiz quadrada deles também será positiva. Portanto, o sinal da correlação será determinado pelo sinal da covariância.

Como Cov(X, Y) = -0,5 (negativa), a correlação linear (ρ) também será negativa.

Conclusão:

A afirmação "A correlação linear entre X e Y é negativa" é verdadeira.

Em resumo: A covariância entre X e Y é negativa, o que implica que a correlação linear entre elas também é negativa. Não é necessário calcular os valores exatos das variâncias de X e Y para concluir isso. O sinal da covariância já é suficiente.

CL = ρx,y

ρx,y = Cov(x,y) / σx*σy

Vx+Vy+2C(x,y)

Vx+Vy-2C(x,y)

V=σ²

DP= √σ²

Questão desafiadora pois precisa de muitos conceitos para resolver, vou explicar como cheguei no resultado:

1) O enunciado nos diz que VAR(x-y) = 7 e VAR(x+y) = 5, com base nisso eu abri as duas fórmulas de variância da soma para tentar achar algum indício de como prosseguir:

1.1) Abrindo as fórmulas temos:

VAR(X-Y) = VAR (X) + VAR(Y) - 2 * COV(X,Y)

7 = VAR (X) + VAR(Y) - 2 * COV(X,Y)

VAR (X + Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 * COV (X,Y)

5 = VAR (X) + VAR (Y) + 2 * COV (X,Y)

Ao verificar essa igualdade nas fórmulas eu tive a ideia de substituir uma na outra, isolando um dos termos em azul:

2) Isolando um dos termos em uma das fórmulas e depois substituindo na outra:

5 = VAR (X) + VAR (Y) + 2 * COV (X,Y)

VAR (X) = 5 - VAR(Y) - 2 * COV(X,Y)

7 = VAR (X) + VAR(Y) - 2 * COV(X,Y)

7 = [5 - VAR(Y) - 2 * COV(X,Y)] + VAR(Y) - 2 * COV(X,Y)

/\Aqui, perceba que o -VAR(Y) vai cortar o + VAR(Y)

7 = 5 -2*COV(X,Y) - 2 * COV(X,Y)

7 - 5 = - 4COV(X,Y)

2 = -4COV(X,Y)

Joga o -4 como divisor do 2 e isolamos o COV(X,Y)

2 / (-4) = COV(X,Y)

COV(X,Y) = - 1/2

COV(X,Y) = -0,5

3) Beleza, agora descobrimos que o COV(X,Y) é igual a -0,5. Contudo a questão pede a correlação, logo, precisamos saber também a fórmula da correlação que é:

Corr(x,y) = COV(X,Y) / Desvio Padrão (X) * Desvio Padrão(Y)

Acima temos em verde a informação que possuímos e em vermelho o que não temos. Nesta questão há um "pulo do gato" que precisamos ter que é: O desvio padrão nunca será negativo, logo, o sinal da correlação é totalmente dependente do sinal da covariância, pois nunca teremos uma situação em que haverá uma divisão de dois números negativos. Desta forma, sabemos que COV(X,Y) = -0,5; então, jogando na fórmula temos:

Corr(x,y) = -0,5 / Desvio Padrão (X) * Desvio Padrão(Y)

Portanto, se o desvio padrão nunca será negativo, então o -0,5 irá transformar a correlação entre X e Y em um sinal negativo. Desta forma, a correlação linear entre X e Y é negativa, o que significa que se uma variável cresce, a outra diminui. Porém, não sabemos qual o grau dessa correlação negativa, pois não calculamos o desvio padrão para saber se é uma correlação negativa baixa, média ou alta.

GAB. CERTO

Pra não ter que fazer contas.

1) Se Var (X - Y) > Var (X + Y), então a COV(X,Y) é negativa; COV negativa indica correlação negativa.

2) Se Var (X - Y) < Var (X + Y), então a COV(X,Y) é positiva; COV positiva indica correlação positiva.

3) e se Var (X - Y) = Var (X + Y), a COV(X,Y) é nula.

No nosso caso Var(X-Y) = 7 e Var(X+Y) = 5; logo a nossa covariância é negativa. Assim, nosso coeficiente de correlação linear será negativo.