Sabendo-se que o número complexo 2 + i é raiz do polinômio ...

Sendo o número complexo 2 + i raíz do polinômio, seu conjudado, 2 - i, também será.

Pelas relações de Girard, sabemos que o produto das três raízes é -(-5)/1 = 5

(2 + i).(2 - i).r = 5

(4 - 2i + 2i - i²).r = 5

(4 + 1).r = 5

r = 1

Sabendo o valor das três raízes, podemos encontrar o valor de "a".

2 + i + 2 - i + 1 = -a/1

5 = -a

a = -5

Agora jogamos o valor de uma das raízes no polinômio e encontramos o valor de "b"

1³ - 5(1)² + b - 5 = 0

1 - 5 + b - 5 = 0

-9 + b = 0

b = 9

Portanto, a + b = -5 + 9 = 4

GABARITO: LETRA E

O colega Víctor fez usando duas relações de Girard e no final obtendo os valores apartados das incógnitas "a" e "b", porém como a prova da FAMEMA tem pouquíssimo tempo para resolução das objetivas, discursivas e redação, existia um caminho mais rápido.

1) Saber que a raiz complexa de um polinômio sempre tem seu par conjugado tb como raiz.

2) Aplicar a relação de girar da multiplicação das raizes (x1.x2.x3 = -d/a) para obter a última raiz

(2 + i).(2 - i).r = 5

(4 - 2i + 2i - i²).r = 5

(4 + 1).r = 5

r = 1

3) Colocar a raiz real (1) no polinômio e desenvolver a equação:

x³ + ax² + bx - 5 = 0

1³ + a1² + 1b - 5 = 0

1 + a + b - 5 = 0

a + b = 4