Se m, p, mp são as três raízes reais não nulas da equação x3...

Como m, mp e p são raízes, então x³ + mx² + mpx + p = (x-m)(x-mp)(x-p) 

Desenvolvendo: x³ – (m(p + 1) + p) x² + (mp(m + p + 1))x – m²p²   =>

Logo mp(-m -p +1) = mp =>

Dividindo tudo por mp m+p+1=1 => m+p=0 => m=-p

e também p=-m²p

Relação de Girard.

S=-b/a.

-1/1=-1. Simples!

Pelas relações de Girard:

m + p + mp = - m

mp + m²p + mp² = mp -> m²p + mp² = 0 -> mp(m + p) = 0(note que mp se repete tanto nos dois fica em evidência)

m²p² = -p

Na equação mp(m + p) = 0, sendo mp(raiz) ≠ 0, então, m + p = 0 -> m = -p

Na terceira equação m²p² = -p -> p²*p² = -p -> p^4 + p = 0 ∴ p = -1 ∴ m = 1

Logo a soma das raízes:

m + p + mp = -m ∴ m + p + mp = -1