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Ano: 2014 Banca: VUNESP Órgão: UNESP Prova: VUNESP - 2014 - UNESP - Vestibular - Primeiro Semestre |
Q491508 Matemática
No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o cálculo da área de desmatamento a função D(t) = D(0) · ek·t , em que D(t) representa a área de desma- tamento no instante t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial t = 0, e k a taxa média anual de desmatamento da região. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da Amazônia seja 0,6% e usando a aproximação In2 ≅ 0,69 , o número de anos necessários para que a área de desmatamento da Amazônia dobre seu valor, a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente
Alternativas

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Temos que:

D(t) = área desmatada, onde "t" está em anos;
k = taxa média anual de desmatamento;

Assim:

D(t) = D(0)ekt
2D(0) = D(0)e0,006t
2 = e0,006t
ln(2) = ln(e0,006t)
0,69 = 0,006t.ln(e)

Assim:

t = 0,69/0,006 = 115 anos

Obs.: ln(e) = 1.

Resposta: Alternativa B.

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A função que modela o desmatamento é dada por:

D(t) = D(0) e^{kt}

O enunciado pede o tempo em anos para que o desmatamento seja o dobro do valor inicial, ou seja, D(t) = 2D(0). Substituindo na equação:

2D(0) = D(0)e^{ \frac{0,6}{100} t} \\ \\ 2 = e^{\frac{0,6}{100} t}

Aplicando o logaritmo natural nos dois membros da equação, temos:

ln(2) = ln(e^{\frac{0,6}{100} t}) \\ \\ 0,69 = \dfrac{0,6}{100} t} \\ \\ t = \dfrac{69}{0,6} \\ \\ 
t = 115

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