Se , é correto afirmar que o valor de x está no intervalo

Primeiro, considerações:
Divisor: 2+x implica que -2 não pode ser X

Agora, por partes:
Tirando o mínimo de 2+ (1/(2+x)), tem-se:
(4+2x+1)/(2+x) ou (5+2x)/(2+x)

Considerando que é 1/(5+2x)/(2+x), mantém o primeiro e multiplica pelo inverso do segundo, ou sejá:
1 * (2+x)/(5+2x) que nada mais é que (2+x)/(5+2x)

Agora, é 1 + (2+x)/(5+2x), tirando o mínimo, obtém-se:
[5+2x + 2+x]/(5+2x), ou (7+3x)/(5+2x)

Última parte:

√2 = (7+3x)/(5+2x), o divisor passa pro outro lado multiplicando:
√2*(5+2x) = (7+3x)
5√2+x*2√2 = 7 + 3x, passando x pra direita, numero pra esquerda, temos:

2√2*x - 3x = 7 - 5√2
x*(2√2-3) = 7-5√2

Aqui vem um conhecimento que facilita: √2 é aproximadamente 1,414, a partir dele pode-se:
x*(2*1.414-3)=7-5*1,414

-0,172*x = -0,07 --> x = 0,07/0,172 --> x = 70/172 = 35/86 
x = 0,4069 D

frações contínuas