As três leis de Kepler podem ser aplicadas para quaisquer s...

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Q1853793
Física Leis de Kepler , Gravitação Universal ,
Ano: 2021 Banca: Aeronáutica Órgão: EEAR Prova: Aeronáutica - 2021 - EEAR - Sargento da Aeronáutica - Controle de Tráfego Aéreo (Turma 2) |
Q1853793 Física
As três leis de Kepler podem ser aplicadas para quaisquer sistemas em que corpos gravitam em torno de um corpo central, como é o caso de planetas em torno de uma estrela. Adotando a lei dos períodos de Kepler, pode-se afirmar corretamente que a relação entre o período de translação da Terra em torno do Sol (TT) e o período de translação de Mercúrio em torno do Sol (TM) é dado por:
Observação: o valor do raio médio da órbita de Mercúrio em torno do Sol é 40% do valor do raio médio da órbita da Terra em torno do Sol. 
Alternativas

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Então:

Aplicamos a terceira lei de Kepler -------- raio ao cubo / período ao quadrado = raio ao cubo / período ao quadrado

Raio de mercúrio = 40% do raio da terra, logo: Rm = 0,4 Rt

Rt ^3 / Tt ^2 = 0,4 Rt ^3 /Tm ^2

Rt ^3 = (0,4 Rt ^3 / Tm ^2) . Tt ^2

Tt ^2 = Rt ^3 . Tm ^2 / 0,4 ^3 . Rt ^3

Explodindo a raiz:

Tt = √Rt ^3 . √Tm ^2 / √0,4 ^3 . √Rt ^3

Cortamos os dois √Rt ^3 e a raiz de Tm com o ^2

Tt = ( 1 / √0,4 ^3) . Tm

(lembrando que: √X ^ 3 = X ^3/2)

Tt = ( 1 / 0,4 ) ^3/2 . Tm

Lembrando que 0,4 = 2 / 5 , logo o inverso é 5 / 2

Tt = ( 5 / 2 ) ^ 3 / 2 . Tm

Gabarito A

Se eu errei, me corrijam.

Basta somente aplicar a lei dos períodos e chega-se na relação TT2/RT3 = TM2/RM3, e disse que o raio de Mercúrio é 40% da terra, ou seja 2/5RT, fazendo os cálculos chega-se que TT = TM.(5/3) elevado a 3/2 . Logo, a alternativa A) é correta.

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