Em um plano cartesiano, os pontos A, B e C estão sobre a re...

Uma questão de geometria analítica bem interessante da EEAR, vamos resolvê-la de duas maneiras. Na primeira, vamos utilizar somente geometria analítica, já na segunda resolução vamos utilizar o número de ouro: (1 + √5)/2 .

Em todas elas, precisamos encontrar as medidas dos segmentos AB e BC. Para fazer isso, vamos ilustrar o plano cartesiano, a reta y = x e os pontos A, B e C, conforme os valores dados no enunciado.

O enunciado nos informa que A,B e C estão sobre a reta y = x. Sobre esta reta, os pontos possuem abscissa igual a ordenada. Por exemplo, dado um valor x = 100, o valor de y = x = 100. Isto quer dizer que se as abscissas de A e C são, respectivamente, 0 e 6, então as suas ordenadas possuem os mesmos valores. Marcamos então os pontos A (0,0) e C (6,6). Sabemos que B é um ponto sobre esta reta e que está entre A e C, é a única informação que temos sobre ele, sendo assim, vamos considerar que a abscissa de B vale k e deste modo sua ordenada também valerá k. Com isso, marcamos sobre a reta y = x o ponto B de coordenadas (k, k). Lembre-se, nosso objetivo é encontrar o valor da ordenada de B que é igual a k.

Com estas informações ilustradas no gráfico, podemos encontrar as medidas de AC, AB e BC utilizando o Teorema de Pitágoras. Alternativamente, você poderia utilizar a fórmula da distância entre dois pontos, que utiliza como recurso o Teorema de Pitágoras, ou também visualizar que essas distâncias tratam-se de diagonais de quadrados.

>> Cálculo de AC

AC² = 6² + 6²

AC² = 36 + 36

AC² = 2 . 36

AC = 6√2

>> Cálculo de AB

AB² = k² + k²

AB² = 2 k²

AB = k√2

>> Cálculo de BC

Vamos encontrá-lo subtraindo AC - AB

BC = AC - AB

BC = 6√2 - k√2

BC = (6 - k) √2

Nos dois métodos de resolução, você precisaria desses conceitos de geometria analítica para obter essas medidas. A partir daqui, podemos trabalhar de duas maneiras, primeiramente vamos aplicar estes valores na relação do enunciado e com isso encontraremos k.

AC = AB

AB BC

6√2 = k√2

k√2 (6 - k) √2

6 = k

k (6 - k)

6 . (6 - k) = k²

36 - 6k = k²

k² + 6k - 36 = 0

Chegamos a esta equação do segundo grau, vamos encontrar o valor de k utilizando a tradicional fórmula de Bhaskara.

k = (-b ± √Δ)/2a

Vamos primeiro encontrar √Δ

Δ = b² - 4ac

Δ = 6² - 4 . 1 . (-36)

Δ = 36 + 4 . 36

Δ = 36 (1 + 4)

Δ = 36 (5)

√Δ = 6√5

Agora, aplicamos na fórmula:

k = (-b ± √Δ)/2a

k = (-6 ± 6√5)/2

k = -3 ± 3√5

O valor que nos interessa é o k positivo, logo ficamos apenas com

k = -3 + 3√5

k = 3 (-1 + √5)

Alternativa correta é a letra b).

essa de fato me assustou no dia da prova