O ponto da reta r : x + 3y − 10 = que está mais próximo da ...

Muito boa!

Transforme essa eq geral da circunferencia (a grandona) em eq reduzida da circunferencia q é (xp-xc)² + (yp-yc)² = r²

Ajeitando ela:

2x² + 4x + 2y² - 12y + (k - 4) = 0 (o k-4 é o raio da eq)

x² +2x + y² -6y = (2 - k/2)

Observe q

(x+1)² = x² + 2x + 1

(y-3)² = y² -6y + 9

Então

(x+1)² -1 + (y-3)² -9 = (2 - k/2)

(x+1)² + (y-3)² = (12 - k/2) (eq red encontrada)

agr precisamos encontrar um ponto de alguma reta q passe pela circunferencia, para que possamos substituir na eq red

imagine uma reta perpendicular à reta r (q tangencia a circunferência).

Retas perpendiculares: m1*m2 = -1

r: y = -x/3 + 10/3

m1 = -1/3

então

-1/3 * m2 = -1

m2 = 3

assim,

chamarei essa reta de s

s: y = 3x + 0 = 3x (b valendo 0 pq a reta parte da origem do plano cartesiano)

Agora

r: y + x/3 = 10/3 OU 3y + x = 10

s: y - 3x = 0

Monte um sistema pra corta "x" ou "y" e achar os pontos q tu ta encontrando

3y + x = 10

y - 3x = 0

Ao calcular o sistema tu achará q x = 1 e y = 3

Agr substitua la em cima (na eq reduzida), respeitando o enunciado (a reta é exterior à circunferencia,. Portanto esse valor tem q ser >0)

(1+1)² + (3-3)² > (12 - k/2) > 0

4 > (12 - k/2) > 0

Tu vai achar

16 < k < 24

Então os possiveis valores de K estão em 17 até 23

A) existem 7 elementos

B) 17, 19 e 23 são numeros primos

C) n há

D) n existem

Essa questão é de nível bom para abrir sua mente.