Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, e uma reta...

depois dessa só Deus sabe como tá a mente do palhaço:

#rumoaoita2025

1. **Construção geométrica**:

- Seja a circunferência \(C\) com centro \(O\) e raio \(R\).

- A reta \(r\) é tangente a \(C\) no ponto \(T\).

- Traçamos o diâmetro \(AB\) oblíquo a \(r\).

- A projeção de \(AB\) sobre \(r\) é o segmento \(PQ\).

2. **Informação dada**:

- A razão entre \(OQ\) e o raio \(R\) é \(\frac{\sqrt{7}}{2}\).

3. **Objetivo**:

- Encontrar o ângulo, em radianos, entre \(AB\) e \(PQ\).

4. **Resolução**:

- Vamos considerar o triângulo \(OQT\). O segmento \(OQ\) é a hipotenusa e o segmento \(QT\) é o cateto.

- Usando a razão dada, temos:

\[ \frac{OQ}{R} = \frac{\sqrt{7}}{2} \]

\[ OQ = \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot R \]

5. **Relação trigonométrica**:

- O ângulo entre \(AB\) e \(PQ\) é o mesmo que o ângulo entre \(OQ\) e \(QT\).

- Portanto, queremos encontrar o ângulo \(\theta\) tal que:

\[ \tan(\theta) = \frac{QT}{OQ} \]

6. **Encontrando \(QT\)**:

- O segmento \(QT\) é a altura do triângulo \(OQT\).

- Usando o teorema de Pitágoras:

\[ QT^2 + R^2 = OQ^2 \]

\[ QT^2 + R^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2} \cdot R\right)^2 \]

\[ QT^2 + R^2 = \frac{7}{4} \cdot R^2 \]

\[ QT^2 = \frac{3}{4} \cdot R^2 \]

\[ QT = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R \]

7. **Encontrando o ângulo \(\theta\)**:

- Usando a relação trigonométrica:

\[ \tan(\theta) = \frac{QT}{OQ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R}{\frac{\sqrt{7}}{2} \cdot R} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \]

\[ \theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) \]

8. **Resultado**:

- O ângulo entre \(AB\) e \(PQ\) é:

\[ \theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) \]

Portanto, o ângulo, em radianos, entre \(AB\) e \(PQ\) é aproximadamente igual a \(\frac{\pi}{6}\) ou \(30^\circ\). A resposta correta é **B) \(\frac{\pi}{6}\)**.