Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termo...

a1=a-r ; a2=a ; a3=a+r

S1 = (a-r)+a+(a+r) =3a

S2=(a-r)²+a²+(a+r)²=a²-2ar+r²+a²+a²+2ar+r² =3a²+2r²

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Sabemos que P(x)=ax²+bx+c=a*(x-x')*(x-x'')

x² − S1x + (S2 - 1/2) = (x-a)*(x-(a+r))

x² − 3a*x + (3a²+2r² - 1/2) = x²-x*(a+r)-ax+a*(a+r)

x² − 3a*x + (3a²+2r² - 1/2) = x²-x*(2a+r)+a*(a+r)

-3a*x=-x*(2a+r) ==>3ax=2ax+r*x ==>3a-2a=r ==>a=r (i)

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3a²+2r² - 1/2 =a*(a+r)

3a²+2r² - 1/2 =a²+a*r

2a²+2r² - 1/2=a*r (ii)

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(i) em (ii)

2r²+2r²-1/2=r² 

3r²=1/2

r²=1/6

r=±√(1/6)=±√6/6 , com PA é crescente (r>0), ==>r = √6/6