“A área de um triângulo é a metade do produto da medida de s...
Considere o retângulo ABCD, cuja base mede 40 cm e altura mede 60 cm, e o triângulo BEF construído com vértices sobre os lados do retângulo, conforme a figura abaixo. Sabendo que ED = 3DFe a área do triângulo BEF é a maior possível, qual a área deste triângulo?
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A área deste triângulo é 1350 cm².
Vamos considerar que o segmento DF é igual a x.
Sendo assim, temos que o segmento ED é igual a 3x.
Como CD é igual a 40 cm, então FC = 40 - x.
Da mesma forma, como AD é igual a 60 cm, então AE = 60 - 3x.
A área do triângulo é igual à área do retângulo ABC menos a soma das áreas dos triângulos ABE, BFC e EDF.
Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto base x altura e que a área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura, temos que:
y = 40.60 - 40(60 - 3x)/2 - 60(40 - x)/2 - 3x.x/2
y = 2400 - 1200 + 60x + 1200 + 30 - 3x²/2
y = -3x²/2 + 90x.
Para calcularmos a área máxima, basta calcular o y do vértice.
Calculando o valor de delta, obtemos:
Δ = 90² - 4.(-3/2).0
Δ = 8100.
Portanto, a área máxima será:
yv = -8100/4.(-3/2)
yv = 8100/6
yv = 1350.
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