Considere uma sequência numérica αn , na qual α1 = 625, o termo sucessivo é sempre igual à raiz quadrada do termo anterior e o termo geral pode ser expresso na forma αn = 5bn. Com base nessas informações, é correto afirmar que a sequência bn é uma Alternativa A: progressão geométrica de quociente menor que 1. Ou Alternativa B: progressão geométrica de quociente maior que 1. Ou Alternativa C: sequência alternada. Ou Alternativa D: progressão aritmética de razão menor que 1. Ou Alternativa E: progressão aritmética de razão maior que 1.

Considere uma sequência numérica αn , na qual α1 = 625, o te...

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Q1969812

Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: CBM-RO Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - CBM-RO - Oficial Bombeiro Militar Complementar - Engenheiro Civil |

Q1969812 Matemática

Considere uma sequência numérica α_n , na qual α₁ = 625, o termo sucessivo é sempre igual à raiz quadrada do termo anterior e o termo geral pode ser expresso na forma α_n= 5^bn. Com base nessas informações, é correto afirmar que a sequência b_n é uma

progressão geométrica de quociente menor que 1.

progressão geométrica de quociente maior que 1.

sequência alternada.

progressão aritmética de razão menor que 1.

progressão aritmética de razão maior que 1.

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Questão boa para destrinchar.

A1= 625= 25=5

a1= 5^4--> b1 x 0,5

a2= 5^2--> b2 x 0,5

a3=5^1 -->b3 x 0,5

...

q= 0,5

trata-se de uma progressão geométrica de quociente menor que 1.

gabarito letra (A)

Gab A

a1= 625

a2= raiz (625)=25

a3= raiz (25)= 5

an=5^bn

a1=5^b1

625=5^b1

5^4=5^b1

b1=4

a2=5^b2

25=5^b2

5^2=5^b2

b2=2

a3=5^b3

5=5^b3

b3=1

b4=0,5

b5=0,25

Percebe-se que é uma progressão geométrica decrescente, não poderia ser aritmética, observe,se você tentar tirar a razão aritmética b2-b1=2-4= -2.

Teste:

b2=4-2=2 (ok),

b3=2-2=0 (erro)

Razão geométrica

q=b2/b1=2/4= 0,5

Vamos analisar a sequência ��

αn

e entender o comportamento da sequência ��

passo a passo.

Primeiro, temos que a sequência ��

αn

é definida como:

�1=625
α1
=625
Cada termo sucessivo é a raiz quadrada do termo anterior.

Para simplificar, vamos calcular os primeiros termos da sequência ��

αn

�1=625
α1
=625
�2=�1=625=25
α2
=α1
=625
=25
�3=�2=25=5
α3
=α2
=25
=5
�4=�3=5≈2.236
α4
=α3
=5
≈2.236

Agora, de acordo com o problema, sabemos que podemos escrever ��

αn

na forma ��=5��

αn

=5bn

Vamos calcular os valores de ��

para os primeiros termos:

Para �1=625
α1
=625, temos 625=54
625=54
. Portanto, �1=4
b1
=4.
Para �2=25
α2
=25, temos 25=52
25=52
. Portanto, �2=2
b2
=2.
Para �3=5
α3
=5, temos 5=51
5=51
. Portanto, �3=1
b3
=1.
Para �4=5
α4
=5
, podemos escrever 5=51/2
5
=51/2
. Portanto, �4=1/2
b4
=1/2.

Podemos observar que:

�1=4
b1
=4
�2=2
b2
=2
�3=1
b3
=1
�4=1/2
b4
=1/2

Vamos ver se há um padrão que possamos identificar:

�2=�1/2
b2
=b1
/2
�3=�2/2
b3
=b2
/2
�4=�3/2
b4
=b3
/2

Observamos que cada termo de ��

é a metade do termo anterior. Isso significa que a sequência ��

é uma progressão geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 1/2

1/2.

Uma progressão geométrica é definida por termos que são multiplicados por um valor constante, chamado razão, para se obter o próximo termo. No caso da sequência ��

, a razão é 1/2

1/2, que é menor que 1.

Portanto, a sequência ��

é uma progressão geométrica de quociente (razão) menor que 1.

A alternativa correta é:

A) progressão geométrica de quociente menor que 1.

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