Analise as afirmativas abaixo: I - Todo triângulo retângulo...

Para mim não ficou claro a demonstração da primeira afirmação, uma vez que a professora apenas listou um exemplo de triângulo o qual atende a essa afirmação não demonstrando para todo triângulo como anuncia o enunciado. Para exemplificar o meu comentário vou dar um exemplo. Caso o enunciado falasse - Todo triângulo retângulo de lados inteiros e primos entre si possui um dos lados múltiplo de "3" o argumento da professora poderia ser utilizado nesse caso, contudo no triângulo 5, 7 e 13 não é verdade.

Samuel, podemos verificar a afirmativa da seguinte forma:

1° Perceba que todo número natural ao quadrado sempre terá resto igual a 0, 1 ou 4.

1^2 = 1 -> Resto 1

2^2 = 4 -> Resto 4

3^2 = 9 -> Resto 4

4^2 = 16 -> Resto 1

5^2 = 25 -> Resto 0

...

Claro que só porque observamos com os 5 primeiros números naturais, não quer dizer que isso seja uma regra para todos os números. Mas podemos provar:

Fazemos n = 5q + r, onde r = {0,1,2,3,4}. Assim:

n^2 = (5q + r)^2 = 25q^2 + 10qr + r^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2.

Os possíveis valores de r^2 são:

0^2 = 0 -> E isso implica no resto de n^2 ser igual a 0.

1^2 = 1 -> E isso implica no resto de n^2 ser igual a 1.

2^2 = 4 -> E isso implica no resto de n^2 ser igual a 4.

3^2 = 9 -> E isso implica no resto de n^2 ser igual a 4 (pois 9 = 5 + 4)

4^2 = 16 -> E isso implica no resto de n^2 ser igual a 1 (pois 16 = 15 + 1)

Portanto, fica provado que os possíveis restos de n^2, n E N, são 0, 1 e 4.

2° Agora, vamos utilizar essa informação à nosso favor.

Sendo a^2 = b^2 + c^2, vamos verificar os possíveis valores dos restos da soma (b^2 + c^2) na divisão por 5:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

0 + 4 = 4

1 + 1 = 2

1 + 4 = 5 -> e o resto fica igual a 0

4 + 4 = 8 -> e o resto fica igual a 3

Como b^2 + c^2 = a^2, então o resto de a^2 deve ser o mesmo do resto da soma. Mas a^2 só pode ter como resto 0, 1 ou 4. Sendo assim, as somas que satisfazem isso são:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

0 + 4 = 4

1 + 4 = 5 -> e o resto fica igual a 0

Em todos esses, possuímos algum termo que em sua divisão por 5 dá resto 0, isto é, em todas as possíveis opções de a, b ou c, possuímos um termo que é múltiplo de 5.

Nota: De fato, se você pegar para analisar os ternos pitagóricos, notará que em todos eles pelo menos um termo é múltiplo de 5.