Um retângulo no plano cartesiano possui dois vértices sobre...

Fazendo o desenho abaixo:


Perímetro = P = 2x + 2x + y + y = 4x + 2y                         (1)

Mas y = 4 - x²                                                                 (2)

Substituindo (2) em (1):

P = 4x + 8 - 2x² =
P = - 2x² + 4x + 8

Procurando o X_v:


X_v = -b/2a = -4/2(-2) = 1

Substituindo em (2) e depois em (1):

y = 4 - x²  = 4 - 1² = 3
P = 4.1 + 2.3 = 10


Resposta: Alternativa C.

Vamos chamar de x a distância do centro do plano cartesiano até um dos vértices do retângulo de y=0.

Assim, o comprimento do retângulo será igual a 2x.

Ainda, temos a altura do vértice superior, dada pela equação da parábola: y = 4 - x²

Agora, podemos calcular o perímetro do retângulo:

P = 2*(2x) + 2*(4-x²)

P = 4x + 8 - 2x²

Sabendo a equação que descreve o perímetro, temos que calcular o máximo dessa função para determinar o perímetro máximo.Para calcular o ponto de máximo de uma equação de segundo grau, utilizamos a seguinte expressão:

Yv = -Δ / 4a

Então, calculamos Δ:

Δ = 4² - 4*(-2)*8 = 80

Substituindo, temos:

Yv = -80/4*(-2) = -80/-8 = 10

Portanto, o máximo que a função que descreve o perímetro atinge é igual a 10. Assim, o perímetro máximo é 10.

Alternativa correta: C.

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o-------------o ----> a altura do retângulo será representada pela função y=4-x², vide o contato entre ambas.

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o-------------o ----> e o lado do retângulo será chamado de 2x, vide o desconhecimento da abscissa

-x | x

LOGO:(perimetro): 2(4-x²)+2.2x

-2x²+4x+8

o valor máximo será o y do vertice = 10