Se os termos da Progressão Geométrica (a, b, c) são lados de...

Segue que a razão é b/a = r e e c/b = r.. agora temos que esses números são lados de um triangulo retângulo, ora, vou tomar c como a hipotenusa e segue c^2 = a^2 + b^2 .. Veja que a != 0 => a^2 != 0 e passa tudo por a^2 .. então (c/a)^2 = 1 + (b/a)^2 .. note que c=rb=r(ra)=(r^2)*a => r^2 = c/a. Substituindo temos que (r^2) ^ 2  - 1  - r^2 = 0.. chama r^2 = x para ficar mais fácil e temos uma equação de segundo grau x^2-x-1=0 cuja solução é x= 1 +- sqrt(5) .. bem, x = r^2 , então r = sqrt(1 +- sqrt(5)) e isso é um número irracional.  

Letra A.

Substituindo os termos da PG na equação do teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)temos:

(a3)² = (a2)² + (a1)²

(a1q²)² = (a1q)² + (a1)² ( dividindo ambos os lados por por (a1)² )

(q²)² = (q)² + 1 (substituindo q² por x)

x² - x -1 = 0

resolvendo por bhaskara temos: x' = (1+√¯5)/2

x''= (1-√¯5)/2 (descartada pois nenhum numero real elevado ao quadrado dá resultado negativo)

q² = (1+√¯5)/2

sabendo que a raiz de 5 não pode ser expressado na forma de fração, sabemos que o valor de q é irracional.

LETRA A

Fiz num método mais bruto atribuindo valores baixos.

Vi que a hipotenusa sendo 5, e os catetos serem 3 e 4, fazem valer a fórmula a² = b² + c ².

Assim pra achar a razão peguei entre os catetos 3 e 4 fazendo a função: 3x = 4 --> x = 3/4 --> dá uma dízima infinita. Número irracional

Gabarito: A

Basta lembrar do Teorema de Pitágoras --> a² = b² + c ²

Na aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo de lados medindo 1, percebeu-se que a resposta era igual à raiz do número 2.

Na tentativa de encontrar-se a resposta para essa raiz quadrada de 2, encontrou-se um número decimal conhecido como dízima não periódica, que é impossível de ser representada como uma fração. Isso fez necessária a criação de um novo conjunto, os irracionais, já que, até aquele momento, todos os números eram racionais (que podem escritos como fração).