Na formatura dos 8 amigos, eles se encaminhavam junto...

De acordo com o enunciado trata-se de uma permutação simples (P_n), onde dado um conjunto com n elementos distintos, seleciona-se n elementos para formar a sequência ordenada.
P_n = n!

Considerando os 8 amigos as letras do alfabeto: a, b, c, d, e, f, g, h.
Dois deles sempre juntos: ab
Assim, para permutação simples tem-se 7 elementos:
ab , c , d , e , f , g , h
P₇ = 7! = 5040 diferentes filas
Finalizando, permutando-se os dois amigos a e b, tem-se:
2 x 5040 = 10080 possibilidades de diferentes filas serem formadas.

Resposta A)

P= (n -1)! 

P= (8 -1)!

P=(7)!

P=5.040 X2

P:GABARITO A

Fazendo pelo PFC também podemos chegar no resultado

AB  C  D  E  F  G  H

7X6X5X4X3X2X1= 5040 X 2 =10.080

"E ai, como resolvemos isso?"

Bem, é o tipo de questão que resolvemos em duas etapas.

Ao ler o comando da questão vejo que são 8 amigo e devemos arrumá-los numa fila, mas de modo que 2 semprefiquem juntos.

Mas, a essa  altura da questão você já identificou com qual ferramenta iremos trabalhar? "Arranjo!", mas especificamente Permutação." Isso mesmo. Por que? Olha, vocês está numa fila assim: 1-2-3-4-5-6-7-8. Sai para tomar água, e quando volta encontra: 1-6-5-7-8-2-3-4.  Ai você diz: " Oxé, alguma coisa mudou." Sim, estamos diante de um arranjo.

Agora vamos para as peculiaridades.

2 amigo devem ficar sempre juntos. Assim vamos tomar esses dois como sendo apenas 1. Logo, reduzimos o nosso espaço de 8 para 7. Entendeu?  Ao invés de termos 1-2-3-4-5-6-7-8, teremos 12-3-4-5-6-7-8.

Ou seja, teremos uma permutação de 7 elementos em 7 lugares. Como fazemos? P=7!= 7x6x5x4x3x2x1= 5040

Olha ai o gabarito! Êêêêpa!!!!!!!!! Calma. Como falei, essa é uma possibilidade 12-3-4-5-6-7-8.Mas se eu tiver 21-3-4-5-6-7-8?

É outra possibilidade. Ou seja, também há uma permutação interna, logo nessa permutação interna teremos 2 possibilidade. Ou seja, devemos ainda multiplicar o resultado 5040 por 2= 5040x2=10.080. E eis o nosso gabarito: A de Abacate..

O raciocínio não é complicado: primeiro faça a permutação de 7 pessoas na fila (pois como 2 sempre estarão juntos, eles serão considerados um só na permutação). ---> 7! = 5.040 (obs.: Permutação de n é igual a n!)

7! * 2 = 10.080