A covariância entre T e Z é igual a 1.

Queremos calcular a covariância entre T e Z.

Usando a definição cov(A,B)=E[AB]−E[A]E[B], obtemos

cov(T,Z)=E[TZ]−E[T]E[Z]

Substituindo T=X+Y+Z,

=E[(X+Y+Z)Z]−E[T]E[Z]

Distribuindo:

=E[XZ]+E[YZ]+E[Z2]−E[T]E[Z]

Como Var[Z2]=E[Z2]−E[Z]2, segue que E[Z2]=Var[Z]+E[Z]2.

Além disso,sendo X, Y e Zindependentes,teremos E[XZ]=E[X]E[Z] e E[YZ]=E[Y]E[Z]. Atualizando a expressão:

=E[X]E[Z]+E[Y]E[Z]+Var[Z]+E[Z]2−E[T]E[Z]

Por fim, a soma entre variáveis independentes de Poisson segue distribuição de Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros das variáveis somadas. Logo, T segue distribuição de Poisson com parâmetro 5+3+1=9.

Agora é só substituir, sabendo que na distribuição de Poisson tanto o valor esperado quanto a variância são iguais ao parâmetro:=1

A covariância entre T e Z é igual a 1.    

Gabarito: CERTO.

COV(T,Z) = COV(X+Y+Z,Z) = COV(X,Z) + COV(Y,Z) + COV(Z,Z)

Como X e Z são independentes, COV (X,Z) = 0

Como Y e Z são independentes, COV (Y,Z) = 0

Como COV (Z,Z) = VAR(Z), COV(Z,Z) = 1

Logo,

COV(T,Z) = 0+ 0 + 1 = 1