Com base na lei fraca dos grandes números, Sn  converge, em ...

De acordo com a lei fraca dos grandes números, a média amostral converge em probabilidade para a média populacional. Dizer que converge em probabilidade significa que, quanto maior o tamanho amostral, mais a média amostral se aproximará da média populacional. A notação utilizada para expressar essa convergência é esta: X¯n−→Pμ.

Temos aqui uma amostra aleatória de tamanho n extraída de uma distribuição com média 0 e variância 2. Ou seja: E[X]=0

 e Var[X]=2.

Estamos interessados na convergência da soma dos quadrados dessa variável aleatória:

Sn=∑X2j

Utilizando o conhecimento de que Var[X]=E[X2]−E[X]2, temos que

2=E[X2]−0^2

E[X2]=2

Portanto, o valor esperado de cada observação ao quadrado é igual a 2.

Porém, a questão afirma que a própria soma Sn converge em probabilidade para 2. Ora, não foi isso o que vimos. Como chegamos em E[X2]=2, sabemos que a média dessas somas convergirá para 2; isto é:

Sn/n−→P 2

Mas a soma em questão não converge. É só pensar que se trata de uma soma de quadrados (sempre números positivos). Assim, quanto maior o tamanho amostral, maior ficará essa soma.

Gabarito: ERRADO.

Gabarito ERRADO.

A convergência ocorre para a média populacional (0), e não para a variância (2). A variância está relacionada à dispersão dos Xi, mas não ao valor para o qual Sn converge.

Um detalhe importante

Lei fraca → converge em PROBABILIDADE para a média

Lei forte → converge QUASE CERTA para a média

Ps.: Embora N aumente em ∞, não significa que possui uma DISTRIBUIÇÃO NORMAL.

(CESPE 2015 FUB) Segundo a lei forte dos grandes números, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a estatística X/n converge para uma distribuição normal com média p. (ERRADO)