Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e raz...

Se a razão é negativa, pode ser: -1, -2, -3, -4... ; sendo a soma dos três primeiros termos igual a 7, vemos que a razão negativa não será um número grande. Assim, testando -1, -2, -3 como a razão na fórmula do termo geral da progressão geométrica,

Obs: na fórmula abaixo q(n-1) lê-se q elevado a n-1. Não dá para editar com sobrescrito.

an = a1 * q(n-1)

chegamos a -3 como a razão, já que:

a1 = 1

a1 + a2 + a3 = 7 ou 1 + a2 + a3 = 7                                           [1]

Pela propriedade, a2/a1 = a3/a2, a1 = 1, então a3 = a2^2         [2]

[2] em [1]

a^2 + a - 6 = 0

a' = - 3

O quinto termo é a5 = a1 x (-3)^(5-1)     a5 = 81

" E "

1º termo : 1  

2º termo :

É o primeiro vezes a razão

1.q   (a razão é negativa)   ->  1.(-q) = -q

3º termo : é o segundo termo vezes a razão

(-q).(-q) = q² 

A soma dos 3 primeiros termos é igual a 7

1 - q + q² = 7      ->   q² -q -6 = 0 

Resolve a equação - > Raízes : 3  e  -2 , logo

q = 3
q = -2

# A razão é negativa (- q ) 

- q = -3
- q = 2 

Portanto, a razão é -3.  Calculando a razão pelo produto do 1º termo, encontraremos o 2º termo. E a partir do 2º termo encontraremos os demais, até o 5º termo:  

1,  -3,  9,  -27, 81

PG (1,   x,   y)

Como a razão é negativa, o segundo termo vai ser negativo. Já o terceiro termo vai ser positivo (porque razão negativa multiplicada pelo segundo termo, que também é negativo, vai dar positivo (negativo com negativo = positivo) ). 

Sendo assim, temos:

1 - x + y = 7

y - x = 6

Bom, como temos uma PG, os únicos valores possíveis para x e y são x = -3 e y = 9; ou seja, temos uma PG  de razão r = -3. Logo:

an = a1 * q^n - 1

a5 = 1 * (-3)^4

a5 = 81 (GAB)

A1+A2+A3 = 7

a1 = 1

a2: 1 * (-q) = -q

a3: (-q) * (-q) = q²

Logo,

1 + (-q) + q² = 7

q² - q - 6 = 0 (Acha as raízes, que são 3 e -2. O valor de Q, que é a razão, será 3. Obs.: Lembrar de torná-lo negativo)

Ao descobrir a razão, é só multiplicar: 1; -3; 9; -27; 81

Não sei se foi a dúvida de alguém, mas a minha foi: "Por que entre as duas raízes optou-se por 3? A razão não é negativa? Correto. A razão é negativa, mas na função, não são permitidas raízes negativas. Lembre-se que raiz é diferente de razão. Por isso, pego o valor positivo e posteriormente torno negativo, já que a questão informou que a razão era negativa.