Sobre os direitos políticos,

§ 10 – O mandato eletivo poderá ser impugnado ante a Justiça Eleitoral no prazo de quinze dias contados da diplomação, instruída a ação com provas do abuso de poder econômico, corrupção ou fraude.

§ 11 – A ação de impugnação de mandato tramitará em segredo de justiça, respondendo o autor, na forma da lei, se temerária ou de manifesta má-fé.

Gabarito: E

a) podem alistar-se como eleitores os estrangeiros e, durante o período do serviço militar obrigatório, os conscritos.
Os estrangeiros e os conscritos são inalistáveis.
CF, art. 14, § 2º - Não podem alistar-se como eleitores os estrangeiros e, durante o período do serviço militar obrigatório, os conscritos.

b) a ação de impugnação de mandato tramitará publicamente.
CF, art. 14, § 11 - A ação de impugnação de mandato tramitará em segredo de justiça, respondendo o autor, na forma da lei, se temerária ou de manifesta má-fé.

c) para concorrer a outros cargos, o governador do Distrito Federal não está obrigado a renunciar o respectivo mandato.
Esse procedimento é chamado de desincompatibilização e a regra a que essa alternativa se refere é aplicável apenas aos Chefes do Executivo.
Para os demais agentes políticos (Vereadores, Deputados Estaduais, Deputados Federais e Senadores) NÃO há essa exigência.
CF, art. 14, § 6º - Para concorrerem a outros cargos, o Presidente da República, os Governadores de Estado e do Distrito Federal e os Prefeitos devem renunciar aos respectivos mandatos até 6 meses antes do pleito.

d) o militar alistável que contar mais de 10 anos de serviço é elegível desde que se afaste da atividade.
CF, art. 14, § 8º - O militar alistável é elegível, atendidas as seguintes condições:
I - se contar menos de 10 anos de serviço, deverá afastar-se da atividade;
II - se contar mais de 10 anos de serviço, será agregado pela autoridade superior e, se eleito, passará automaticamente, no ato da diplomação, para a inatividade.

e) o mandato eletivo poderá ser impugnado ante a Justiça Eleitoral no prazo de 15 dias contados da diplomação, instruída a ação com provas de abuso do poder econômico, corrupção ou fraude.
CF, art. 14, § 10 - O mandato eletivo poderá ser impugnado ante a Justiça Eleitoral no prazo de 15 dias contados da diplomação, instruída a ação com provas de abuso do poder econômico, corrupção ou fraude.

Comentário objetivo:

a) NÃO podem alistar-se como eleitores os estrangeiros e, durante o período do serviço militar obrigatório, os conscritos.
Art. 14, § 2º, CF/88 - Não podem alistar-se como eleitores os estrangeiros e, durante o período do serviço militar obrigatório, os conscritos.

b) a ação de impugnação de mandato tramitará publicamente EM SEGREDO DE JUSTIÇA.

Art. 14, § 11, CF/88 - A ação de impugnação de mandato tramitará em segredo de justiça, respondendo o autor, na forma da lei, se temerária ou de manifesta má-fé.

c) para concorrer a outros cargos, o governador do Distrito Federal não está obrigado a renunciar o respectivo mandato.

Art. 14, § 6º, CF/88 - Para concorrerem a outros cargos, o Presidente da República, os Governadores de Estado e do Distrito Federal e os Prefeitos devem renunciar aos respectivos mandatos até seis meses antes do pleito.

d) o militar alistável que contar mais de dez anos de serviço é elegível desde que se afaste da atividade.

Art. 14, § 8º - O militar alistável é elegível, atendidas as seguintes condições:
(...)
II - se contar mais de dez anos de serviço, será agregado pela autoridade superior e, se eleito, passará automaticamente, no ato da diplomação, para a inatividade.

e) o mandato eletivo poderá ser impugnado ante a Justiça Eleitoral no prazo de quinze dias contados da diplomação, instruída a ação com provas de abuso do poder econômico, corrupção ou fraude. PERFEITO!!! 

Sobre a elegibilidade do militar:

Alexandre de Moraes no seu livro Direito Constitucional, vigésima sétima edição, 2011:

" O militar é alistável, podendo ser eleito, conforme determina o art. 14, § 8º. Ocorre, porém, que o art. 142, §3º , V, da Constituição Federal proíbe aos membros das forças armadas, enquanto em serviço ativo, estarem filiados a partidos políticos. Essa proibição, igualmente, se aplica aos militares dos Estados, do Distrito Federal e Territórios, em face do art. 42, §1º.

Como solucionar este aparente conflito constitucional (...)?

O assunto já foi reiteradamente julgado pelo TSE, na vigência da antiga redação do art. 42, §1º e 142,§3º,V,  onde se indica "como suprimento da prévia filiação partidária, o registro da candidatura apresentada pelo partido e  autorizada pelo candidato. Assim, do registro da candidatura até a diplomação do candidato ou seu regresso às Forças Armadas, o candidato é mantido na condição de AGREGADO, ou seja, afastado temporariamente, caso conte com mais de dez anos de serviço, ou ainda, será afastado definitivamente, se contar com menos de dez anos."

vamos lá item por item
a) -o item traz as hipóteses de quem não pode se alistar ( estrangeiros e conscritos)
b)-a ação tramitará em segredo
c)- o governador para concorrer a aoutros cargos deverá renunciar o respectivo mandato seis meses antes
d)- o militar que contar mais de dez anos ficará agregado pela autoridade superior e passará para inatividade no ato de diplomação.
e- correto