Ao longo da história, diversos matemáticos, como Euler, Dede...

Uma função de quantidade variável é uma expressão analítica composta, de alguma maneira, dessa quantidade e de números ou quantidades constantes. 

Diz-se que y é uma função de x se cada valor de x, em certo intervalo, corresponde a pelo menos um valor bem definido de y, sem que isso exija que y seja definido em todo o intervalo pela mesma lei em função de x, nem mesmo que y seja definido por uma expressão matemática explícita de x. 

Uma função f é uma regra que associa dois conjuntos A e B de modo que cada elemento x ∈ A é associado a um ou mais elementos y ∈ B. 

Uma  f(x) será uma função se admitir um valor único e finito para todos os valores de x compreendidos entre dois limites dados, e a diferença f(x + i) - f(x) é sempre entre esses limites uma quantidade indefinidamente pequena. 

Se E e F forem dois conjuntos, não vazios, distintos ou não, uma relação entre uma variável x ∈ E e uma variável y ∈ F chama-se relação funcional em y, ou relação funcional de E em F, se, qualquer que seja x ∈ E , existe um elemento y ∈ F , e somente um, que esteja na relação considerada com x.