A distribuição conjunta de dois indicadores de qualidade do ...

Gabarito: Errado.

Trata-se de uma questão que cobra conhecimento em distribuições contínuas conjuntas.

Importante: Para compreender o item, é necessário ter conhecimento em cálculo diferencial (derivadas, integrais simples e duplas). Caso você não o tenha, creio que não irá conseguir acompanhar a resolução ou resolver o item.

Bom, na Q901833, eu calculei o valor de a, que é 4. Além disso determinei a função de distribuição conjunta f(x,y), determinei a marginal de x e a marginal de y.

Função de distribuição conjunta:

f(x,y) = 4xy.

Marginal de X:

fx(x) = 2x.

Marginal de Y:

fy(y) = 2y.

Como o produto das marginais é a conjunta, as variáveis X e Y são INDEPENDENTES. Portanto, a média de X será igual a média de Y. Diante disso, precisamos calcular apenas uma delas e podemos comparar com a assertiva.

Da teoria, a média de uma variável aleatória contínua X qualquer é dada pela integral de x multiplicando a função marginal. Matematicamente:

E(X) = ∫ x fx(X) no intervalo de [0,1] = ∫ x(2x) dx no intervalo de [0,1] = ∫ 2x² dx no intervalo [0,1].

Resolvendo a integral:

∫ 2x² dx no intervalo [0,1] = 2x³/3 no intervalo [0,1]

2x³/3 no intervalo [0,1] = 2(1)³/3 = 2/3.

Logo, E(X) = 2/3. Outrossim, E(Y) = 2/3.

Note que no enunciado ele fala que as médias valem √a/2. Como calculei na Q901833 que a = 4, o enunciado diz que a média vale √4/2 = 2/2 = 1.

Portanto, como 2/3 ≠ 1, invalidamos o item.

Espero ter ajudado.

Bons estudos!