A distribuição conjunta de dois indicadores de qualidade do ...
A distribuição conjunta de dois indicadores de qualidade do ar, X e Y, é expressa por ƒ(x, y) = αxy, em que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e α > 0. Para outros valores de x e de y, ƒ(x, y) = 0. Com base nessas informações, julgue o próximo item.
O valor esperado de 
é igual à variância de X.
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Para que f(x,y)=axy seja a distribuição conjunta de X e Y, a integral dupla nos limites correspondentes de integração deverá ser unitária:
∫∫axydxdy=1, logo a = 4
Calculando agora as distribuições marginais,
f(x)=∫4xydy =2x
fY(y)=∫4xydx =2y
Finalmente, precisamos comprar esse valor à variância de X. Da distribuição marginal encontramos E[X]=2/3, e portanto
Var[X]=E[X2]−(E[X])^2 =1/18
Os valores coincidem.
Gabarito: CERTO.
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