Seja a função geradora de momentos MX(t) = (1 – 2t)−², com t...

A distribuição qui-quadrado (χ2) é uma distribuição de probabilidade contínua que surge frequentemente em estatística, especialmente em contextos envolvendo testes de hipóteses e intervalos de confiança para a variância de uma população normalmente distribuída.

A função geradora de momentos (FGM) da distribuição qui-quadrado é dada por:

MX(t)=E(e^tX)

onde X é uma variável aleatória qui-quadrado.

Para a distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade, a FGM é dada por:

MX(t)=(1−2t)^−k/2​

onde t é um parâmetro que determina o ponto em que a função é avaliada.

Lembrando que a média e a variância da distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade são k e 2k, respectivamente.

Sabendo disso, já descartaríamos as assertivas b, c e d.. pois, a variância é o o dobro da média

olhando para a "cara" de Mx(t) temos k = 4.. logo, a letra E é a correta

A função geradora de momentos é definida por 

MX(t)=E(e^Xt).

Em especial, 

M′X(0)=E(X)

M′′X(0)=E(X2)

Logo, para o cálculo da média, precisamos da primeira derivada de MX(t) em t = 0. No caso da função dada teremos

M′X(t)=−2⋅(1–2t)^−3⋅(−2)

M′X(t)=4(1–2t)^−3

Assim, a média de X será 

M′X(0)=E(X)=4(1–2⋅0)^−3=4.

Derivando novamente

M′′X(t)=(−12)(1–2t)^−4⋅(−2)

M′′X(t)=24(1–2t)^−4.

Logo,

M′′′X(0)=E(X2)=24.

Dessa forma, a variância de X será 

Var(X)=E(X2)−E(X)^2

Var(X)=24−4^2

Var(X)=24−16

Var(X)=8.

Gabarito: Letra E