A solução positiva da equação quadrática x² - nx = 1, em qu...

Os números metálicos são números positivos, soluções da equação quadrática a · x2 – b · x – c = 0, com a = 1, b e c pertencentes ao conjunto dos números naturais. Resolvendo as diferentes equações x2 – b · x – c = 0, geradas com a variação dos coeficientes b e c, obtemos como raízes os diferentes números metálicos.

Questão complicada. Vamos lá:

x²-nx=1

Dado o valor de X que é 2+√5

Substituindo isso na equação

(2+√5)²-n(2+√5)=1

agora subtraindo os 2 lados por x² para remover ele

(2+√5)²-n(2+√5)-(2+√5)²=1-(2+√5)²

-n(2+√5)=1-(2+√5)²

Agora temos um problema de álgebra, não podemos simplesmente diminuir o 1-(2+√5)², temos que aplicar uma propriedade chamada quadrado da soma que é:

(x+y)²=x²+2xy+y²

(2+√5)²=2²+2(2+√5)+√5²

Raiz quadrada elevado ao quadrado é só retirar a raiz

4+(4√5)+5

9+4√5

Voltando para a igualdade.

1-(9+4√5)

-8-4√5

Voltando para a equação

-2n-√5n=-8-4√5

Agora é só dividir tudo por -2-√5 para eliminar a raiz

-2n-√5n/-2-√5=n

Fatora a segunda para transformar em uma equação só, ficando 4(2+√5)

Agora pega a fatoração e divide por -2-√5

4(2+√5)/-2-√5=4

Pronto, agora temos o valor de N. Só substituir na equação original:

(2+√5)²-4(2+√5)

Aplica a formula da soma do quadrado ( que já temos), ou seja, (2+√5)²=9+4√5

9+4√5-8-4√5=9-8=1

Portanto, gabarito CERTO. Ou seja, 2 + √5 utilizando da equação do enunciado é um numero inteiro positivo.