Sendo A, B e C três conjuntos tais que: A = {x ∈ Z ...

Item Correto.

Alguém se lembra daquelas questões "cansadas" e repetitivas da ESA sobre P.A.? É bem isso que vamos fazer aqui:

O conjunto B são os números múltiplos de 3 até 5000, e o conjunto C são os números múltiplos de 5 até 5000.

Conjunto B

O primeiro múltiplo de 3 no intervalo entre 1 e 5000 é o algarismo 3, é fácil. Agora para encontrar o último múltiplo de 3 nesse intervalo, basta dividir 5000 por 3. O resultado é 1666 resto 2. subtrai 5000 por 2, e saberemos que o último termo da PA que é múltiplo de 3 é o 4998.

Nossa PA será (3, 6, 9,...4998). Aplica a fórmula do termo geral da PA

An = a1 + (n-1) . r

4998 = 3 + (n-1) . 3

4998 - 3 = (n-1) . 3

4995 = (n-1) . 3

4995/3 = n-1

1665 = n-1

n = 1666 termos no conjunto B.

Conjunto C

O primeiro múltiplo de 5 no intervalo entre 1 e 5000 é o algarismo 5. Já sabemos que qualquer número terminado em 0 ou 5 é múltiplo de 5, então o último termo é o 5000 mesmo.

Nossa PA será (5, 10, 15,...5000). Aplicando a fórmula do termo geral da PA novamente.

An = a1 + (n-1) . r

5000 = 5 +(n-1) . 5

5000 - 5 = (n-1) . 5

4995 = (n-1) . 5

4995/5 = n-1

999 = n-1

n = 1000 termos no conjunto C.

A questão quer saber os números da União de B e C, isto quer dizer que vamos ter que subtrair os números que são múltiplos de 3 e de 5 ao mesmo tempo, pois estão sendo contados duas vezes na intersecção.

Os múltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo é igual aos múltiplos de 3 x 5 = 15, ou seja, vamos fazer a mesma PA, só que agora com os múltiplos de 15 (cansativo, não?).

O primeiro múltiplo de 3 e 5 ao mesmo tempo já sabemos, é o 15. Para encontrar o último termo múltiplo de 15 no intervalo de 1 a 5000, basta dividir 5000 por 15. O resultado é 333 resto 5. Subtrai 5000 por 5, e temos que o último número múltiplo de 15 é o 4995.

Nossa PA será (15, 30, 45...4995)

An = a1 + (n-1) . r

4995 = 15 + (n-1) . 15

4995 - 15 = (n-1) . 15

4980 = (n-1) . 15

4980/15 = n-1

332 = n-1

n = 333 termos no conjunto B e C ao mesmo tempo (por consequência, contados duas vezes na intersecção).

Assim temos que B + C = 2666, subtraindo a intersecção entre os dois, 2666-333 = 2333.

Sergio Moro_oficial, obrigado pela paciência em explicar esta questão!

Fiz de uma maneira mais simples:

Conjunto A = 1, 2, 3, ...., 5000

Pra saber o Conjunto B eu dividi 5000 por 3 = 1666 (ignoro as casas decimais)

Pra saber o Conjunto C eu dividi 5000 por 5 = 1000

A união dos Conjuntos B e C (B U C) eu somo os dois conjuntos e subtraio os elementos que estão em ambos, ou seja, os divisíveis por 3 e 5 ao mesmo tempo. Isto é, os divisíveis por 15.

Logo, 5000 / 15 = 333

Então, B U C = 1666 + 1000 - 333 = 2333

Conjunto A = 5000 elementos, pois x está entre 1 e 5000

Conjunto B = pertence a A, mas só múltiplos de 3, então 5000/3 = 1666 elementos

Conjunto C = pertence a A, mas só múltiplos de 5, então 5000/5 = 1000 elementos

Interseção B e C = múltiplos de 3 e de 5, então 5000/15 = 333 elementos

Portanto:

União B e C = (B - BC) + (C-BC) + BC

(1666-333) + (1000-333) + 333

2333

Certo