A imagem da função de 2º grau y = C(x) = 2x2 - 180x + 9000 r...

Alternativa B - Justificativa:

Na função, o coeficiente "a" (que multiplica x2) é igual a 2 (maior do que zero), então essa função admite um ponto de mínimo. Precisamos encontrar o menor y que a função pode assumir.

Existem dois caminhos para isso, vou mostrar um deles, que é encontrar a média das soluções (funciona para toda a função ax2 + bx + c = y).

Vamos dividir toda a função por 2 (por causa do coeficiente a), assim fica mais fácil trabalhar:

y = x2 - 90x + 4500

Usando a famosa fórmula de Bhaskara, temos, primeiramente o cálculo do delta:

b^2 - 4.a.c. = 8100 - 4.1.4500 < 0 com delta menor do que zero não há zero real, ou seja, a função não intercepta o eixo-x.

O que nos leva ao segundo método. Precisamos saber qual é a função DERIVADA de x2 - 90x + 4500. Fiquem tranks: o conceito de derivada não precisa para a sua prova, mas use o seguinte macete:

1) multiplique a por 2 e corte o expoente de x2

2) corte o x que multiplica por b

3) corte o termo independente.

Ou seja: a derivada será: f(x) = 2ax + b.

Então f(x) = 2x - 90.

Faça f(x) = 0 = 2x - 90 -> x = 45.

Agora, substitua x = 45 na função primitiva (original):

y = 45^2 - 90.45 + 4500

y = 2475

Mas lembra que você dividiu toda a função por 2 para simplificar o cálculo?

Agora você precisa multiplicar 2475 por 2 para ter o valor real: 2475 x 2 = 4950.

Assim, y sempre será maior ou igual a 4950.

Prof. Renato Rivero, Msc.

Mestre em Ensino de Matemática.

Para fazer contas:

• o menor valor que x pode assumir numa parábola é dado pela fórmula (-b)/2a

• o menor valor que y pode assumir numa parábola é dado pela fórmula (-Δ)/4a

Já que o que nos interessa é y, então:

Δ = b²-4ac = (-180)²-4(2)(9000) = 32400-72000 = -39600

y = (-(-39600))/4(2) = 39600/8 = 4950

Mas dá pra resolver sem fazer cálculos, simplesmente analisando as alternativas:

(A) ℝ. - IMPOSSÍVEL. O gráfico de uma função ax²+bx+c é uma parábola: ele vai até um ponto e retorna. Ou seja, há infinitos valores acima ou abaixo do gráfico que não fazem parte da imagem. A função em questão é positiva (a positivo), isso desenha uma parábola virada para cima. Então, teremos infinitos valores abaixo do y mínimo que não fazem parte da solução.

(B) {y ∈ ℝ, y ≥ 4950}. - GABARITO

(C) {y ∈ ℝ, y ≥ 9000}. - IMPOSSÍVEL. Para x=1, y= 9000+2-180(sem fazer conta); ou seja: já temos aí um valor inferior a 9000.

(D) {y ∈ ℝ, y < 4950}. - IMPOSSÍVEL. O gráfico de uma função ax²+bx+c não tem pontos abertos, portanto o valor de y TEM QUE pertencer ao conjunto solução. Isso quer dizer que hipoteticamente até poderia ser ≤, mas NUNCA simplesmente apenas <.

(E) {x ∈ ℝ, x ≥ 4500}. - IMPOSSÍVEL. A imagem de uma função f(x) é representada por y, não x.

Quanta firula desses comentários aí, galera... Só sigam esse bizu aqui que não tem erro, confia:

Para encontrar a imagem da função do segundo grau:

*Quando a concavidade da parábola for voltada para cima, a imagem é maior ou igual ao “Y” do vértice;

*Quando a concavidade da parábola for voltada para baixo, a imagem é menor ou igual ao “Y” do vértice.  

só fazer o Yv...