Observe os cinco primeiros termos da seguinte sequência num...

Vamos lá galera, questão interessantíssima. Vamos por etapas:

1) Importante saber duas coisas logo "de cara":

Todo base negativa que tem expoente ímpar, fica negativa. 

Toda  base negativa que tem expoente par, fica positiva.

Entendido isso, vamos a questão:

2) Esquecendo nesse momento o denominador, olhemos apenas para os quatro primeiros números:

1º) 2 + 3 (-1) ^ 3 = temos 5 x (- 1 ) = - 5 --- Observe que o expoente é ímpar, logo ( - 1 ) ^ 3 = -1

2º)  3 + 4 (-1) ^ 4 = temos 7 x 1 = 7 --- Observe que o expoente é par, logo ( - 1 ) ^ 4 = 1

3º)  4 + 5 (-1) ^ 5 = temos  9 x (- 1 ) = - 9  --- Observe que o expoente é ímpar, logo ( - 1 ) ^ 5 = -1

4º)  5 + 6 (-1) ^ 6 = temos 11 x 1  = 11 --- Observe que o expoente é par, logo ( - 1 ) ^ 6 =  1

3) Nossa sequência é oscilante: - 5, 7 , - 9 , 11, -13 , 15,... Precisamos encontrar o 2015º termo. Como achamos?

Repare que ele é um termo de ordem ímpar, logo estará localizado na sequência negativa que indica os termos de ordem ímpar. Como queremos o o 2015º termo, basta dividir 2016 por 2, que é 1008. Assim saberemos que o termo pedido é 0 1008º termo da sequência negativa. 

4) Solução

A sequência negativa (  - 5, - 9, - 13, ...) é uma PA de razão - 4, logo:

a 1008 = a1 + 1007 x R

a 1008 = - 5 + 1007 x ( - 4) = - 5 + (- 4.028) = - 4.033

Como o denominador é 37, basta dividir - 4.033 por 37. O resultado é - 109. Gabarito: Letra D.

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não entendi nada :(

Passado o susto, percebi que há uma sequência para facilitar a resolução da questão.

A parte repetida em todas as sequências é sempre a divisão pelo número 37, a multiplicação pelo número 1 negativo elevado sempre a dois números a mais do termo. Os parênteses serão sempre a soma dos dois números subsequentes ao termo. 

Exemplo: termo 2015º = {(2016+2017) x (-1)^2017} /37.

(2016+2017) - serão sempre a soma dos dois números subsequentes ao termo 2015.

(-1)^2017 - número 1 negativo elevado sempre a dois números a mais do termo 2015.

Resolvendo:

(4033 x -1)/37= - 109

Se resolvemos a 1° sequência temos: (-5/37) ; a 2° temos (7/37) ; a 3° temos (-9/37) até ai já podemos notar que a sequência aumenta de (2/37) em (2/37) alternando em negativa e positiva, analisando as sequência percebe-se que as de sinal negativa serão sempre as impares e as positivas as pares. Como na questão pede o número 2015 concluise que será um numéro negativo.

Resolvendo pela pg temos: An = A1 = (N-1) x R

A1=(-5/37)  

N= 2015  

R= (2/37)

substituindo temos

An = (-5/37) + (2015-1) x (2/37)

An = (-5/37) + (4028/37)

An = 108,72

o próximo número inteiro da progressão será 109, como sabemos que é negativo, então -109

gabarito letra D