Se as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P...

Questão um pouco complicada, a ideia é usar o triângulo pitagórico, este possui seus lados em uma progressão aritmética.

Sendo os lados 3,4,5 e também múltiplos de seus lados são uma PA, portanto dizemos que 3n,4n,5n, sendo n o fator comum de todos

Supomos que a3 = 5n, pois é o maior valor, daí jogamos na fórmula da área do triângulo retângulo (a = (b.h)/2

150 = (3n.4n)/2

300 = 12n**2 (Elevado ao quadrado)

n**2 = 300/12

n**2 = 25

n= Raiz de 25 - > 5

Agora, pegamos o A3 que corresponde à hipotenusa e substituímos :

5n -> 5.5 = 25

Gabarito C)

Se os lados do triângulo retângulo estão em P.A., então

C = Cateto maior = x

c = cateto menor = x - r

H = hipotenusa = x + r

pelo Teorema de Pitágoras sabemos que:

(x + r)² = x² + (x -r)²

x² + 2xr + r² = x² + x² - 2xr + r²

..passando todos os termos do 2º grau para o mesmo lado

2xr + 2xr = x² + x² - x² + r² - r²

4xr = x²

...simplificando (dividindo ambos por "x")

4r = x

segundo a questão a área vale 150, ou seja

150 = (C . c )/2

150 = x . (x -r)/2

300 = x . (x -r)

como chegamos ao valor x = 4r, então substituindo teremos

300 = 4r . (4r - r)

300 = 4r . 3r

300 = 12r²

300/12 = r²

25 = r²

√25 = r = 5 <--- razão da PA

Medidas dos lados:

C = Cateto maior = x = 4r = 4 . 5 = 20

c = cateto menor = x - r = 20 - 5 = 15

H = hipotenusa = x + r = 20 + 5 = 25

Por incrível que pareça chutei assim e acertei:

150/2 = 75 (área divido por 2)

75/3 = 25 (resultado dividido pelos 3 lados)

Se achei usando alguma ideia racional me avisem aqui kkkkk

Se é uma P.A então pode definir a sequência como (x-r,x,x+r).

Utilizando o teorema de Pitágoras temos: (x+r)^2=(x-r)^2+x^2

x^2+2xr+r^2=x^2-2xr+r^2+x^2

Isolando xr temos,

2xr+2xr=x^2+x^2-x^2+r^2-r^2

4xr=x^2

4r=x^2/X

x=4r

Área do triângulo retângulo é b.h/2

Logo 150=(x-r).x/2

x^2-xr=300

(4r)^2-4r.r=300

16r^2-4r^2=300

12r^2=300

r=5

Substituindo x e r na PA (x-r,x,x+r) temos a PA de sequência (15,20,25)

Logo a hipotenusa é o 3° termo da PA.

Resposta C, 25