Considere a seguinte situação hipotética: A companhia Gatur...
Considere a seguinte situação hipotética:
A companhia Gaturamo presta serviço de recauchutagem de pneus e tem a seguinte política comercial previamente acordada com seus clientes: se conseguir recauchutar perfeitamente o pneu, cobra R$ 200 por unidade. Se não conseguir, cobra R$ 50 por unidade de pneu defeituoso, pela tentativa de realizar o serviço. A companhia utiliza um equipamento próprio para realizar a recauchutagem, em que o custo unitário por pneu é de R$ 100. Ao serem recebidos, todos os pneus são inicialmente colocados nesse equipamento e 80% deles são perfeitamente recauchutados na primeira tentativa. Os pneus defeituosos retornam para o equipamento para uma segunda tentativa de torná-los perfeitamente recauchutados, com um custo unitário adicional de R$ 30 por pneu. Na segunda tentativa, 50% dos pneus são de fato perfeitamente recauchutados.
O lucro bruto esperado por pneu pela companhia Gaturamo é de:
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A variável aleatória Lucro (L) é definida por L = (200 - 100) · X + (200 - 100 - 30) · Y + (50 - 100 - 30) · (1 - X) · (1 - Y) onde
- X é a variável indicadora de sucesso na primeira tentativa de recauchutagem, isto é, X = 1 se o pneu foi recauchutado na primeira tentativa e X = 0 caso contrário.
- Y é a variável indicadora de sucesso na segunda tentativa, se a primeira não funcionou, isto é, Y = 1 se X = 0 e a o pneu foi recauchutado na segunda tentativa; e Y = 0 caso contrário.
A partir daqui, podemos dar duas soluções. Uma conceitualmente mais simples e outra que nos ajuda a treinar alguns conceitos. Começaremos com a primeira.
Solução 1:
O enunciado nos diz que P(X = 1) = 0,80 e, por tabela, P(X = 0) = 0,20. O enunciado também nos dá P(Y = 1|X = 0) = 0,50. Utilizando a propriedade de probabilidade total, segue que P(Y = 1) = P(Y = 1|X = 0) · P(X = 0) + P(Y = 1|X = 1) · P(X = 1) = 0,50 · 0,20 + 0 · 0,80 = 0,10, pois P(Y = 1|X = 1) = 0 já que Y = 0 quando X = 1. Segue ainda deste último fato que P( X = 1 ∩ Y = 1) = 0 e, por conseguinte, P(X = 1) + P(Y = 1) = P(X = 1 U Y = 1). Logo P( X = 0 ∩ Y = 0) = 1 - P(X = 1 U Y = 1) = 1 - 0,9 = 0,1. Portanto
E(L) = E( 100 · X + 70 · Y - 80 · (1 - X) · (1 - Y) ) = 100 · E(X) + 70 · E(Y) - 80 · E( (1- X) · (1 - Y)) = 100 · P(X = 1) + 70 · P(Y = 1) - 80 · P( X = 0 ∩ Y = 0) = 100 · 0,80 + 70 · 0,10 - 80 · 0,10 = 80 + 7 - 8 = 79.
Solução 2:
Ao invés de usar a propriedade da probabilidade total, podemos utilizar a propriedade da esperança iterada, isto é, E(L) = E(E(L|X)). Note que E(L|X=1) = 100 e
E(L|X = 0) = 70 · E(Y|X = 0) - 80 · E(1 - Y|X = 0) = 70 · P(Y = 1|X = 0) - 80 + 80 · P( Y = 1 | X = 0) = 150 · P(Y = 1 | X = 0) - 80 = 150 · 0,50 - 80 = -5.
Pela propriedade da esperança iterada segue que:
E(L) = E(E(L|X)) = E(L|X = 1) · P(X = 1) + E(L|X = 0) · P(X = 0) = 100 · 0,80 + (-5) · 0,20 = 80 - 1 = 79
Resposta: 79
- 80% dos pneus foram recauchutados de primeira:
Ganho: 200
Custo: 100
Lucro: 100
Probabilidade: 0,8
Esperança: 100*0,8=80
- dos 20% restantes, metade será recauchutada com sucesso:
Ganho: 200
Custo: 130
Lucro: 70
Probabilidade: 0,1
Esperança: 70*0,1 = 7
- A outra metade falhará pela segunda vez em ser recauchutada, e será vendida por 50 reais:
Ganho: 50
Custo: 130
Lucro: -80
Probabilidade: 0,1
Esperança= -80*0,1= -8
- Somando as esperanças:
80+7+ (-8) = 79
Letra B
Existem três casos possíveis de serem obtidos:
1. Consertar na primeira tentativa
2. Consertar na segunda tentativa, após falhar na primeira
3. Falhar em ambas tentativas.
O lucro/prejuízo em cada tentativa será
Caso 1: 0,8⋅(200−100)=R$80
em lucro
Caso 2: 0,2⋅0,5(200−130)=R$7
em lucro
Caso 3: 0,2⋅0,5(50−130)=−R$8
em lucro ou R$8 em prejuízo
Ou seja, o lucro bruto esperado por pneu pela companhia Gaturamo é de:
80+7-8 = R$79,00.
Gabarito: letra B
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