Suponha que a quantidade produzida q por uma firma seja dada...

Questão sobre minimização do custo, um problema da Teoria da Firma dentro de Microeconomia. Vamos resolver:

>> Em primeiro lugar, vamos resumir as informações do enunciado.

q = 1200K^2/3 L^1/3
r = 6
w = 24
q = 24.000

>> Como se trata de longo-prazo, os dois insumos (capital e trabalho) são variáveis. A firma minimiza seu custo dado um nível de produção quando a inclinação da isoquanta (TMST = - ΔK / ΔL = PMgL / PMgK) coincide com a inclinação da isocusto (ΔK / ΔL = - w / r). Logo temos:

PMgL / PMgK = w / r     (I)

>> w e r já foram fornecidos no enunciado, é preciso descobrir os produtos marginais dos fatores de produção derivando a função de produção em relação a cada um deles:

∂q / ∂K = 1200(2/3)K^-1/3L^1/3
∂q / ∂K = (2400/3)K^-1/3L^1/3
∂q / ∂K = 800K^-1/3L^1/3

∂q / ∂L = 1200(1/3)K^2/3L^-2/3
∂q / ∂L = 400K^2/3L^-2/3

>> Vamos substituir todos os valores na expressão (I):

(400K^2/3L^-2/3) / (800K^-1/3L^1/3) = 24 /6
(4/8)KL^-1 = 4    (aplicação de propriedades das potências)
(1/2)KL^-1 = 4
K / L = 8
K = 8L          (II)

>> Agora vamos substituir (II) na função de produção juntamente com a quantidade fornecida no enunciado (24.000):

q = 1.200K^2/3L^1/3
24.000 = 1.200(8L)^2/3L^1/3
24.000 / 1.200 = 8^2/3L^2/3L^1/3       (aplicação de propriedades das potências)
20 = (raiz cúbica de 8²)L¹
20 = (raiz cúbica de 64)L
20 = 4L
L = 20 / 4
L = 5

"No longo prazo, a minimização do custo para produzir q = 24.000 unidades envolve a contratação de 5 unidades de mão de obra."

>> Nenhum erro no enunciado.

GABARITO DO PROFESSOR: CERTO.