Suponha que a quantidade produzida q por uma firma seja dada...
Suponha que a quantidade produzida q por uma firma seja dada por q = 1200K2/3 L1/3, sendo K a quantidade de capital investido e L a quantidade de mão de obra, ambas medidas em unidades convenientes. Sabendo que cada unidade de capital investido custa $ 6 e cada unidade de mão de obra custa $ 24, julgue o item que se segue.
No longo prazo, a minimização do custo para produzir
q = 24.000 unidades envolve a contratação de 5 unidades de
mão de obra.
2/3 com K
1/3 com L
(gasta o dobro com K)
cada unidade do K custa 4x menos que L (26/6)
no ponto ótimo: 4x2 = 8; utilizará 8x mais K;
K=8L (fazer as substituições e operações)
24000=1200.4L
L=5
Resolução em vídeo:
https://youtu.be/dMcQw4rXJtg
Espero que ajude!!!
não é difícil, os algebrismos que quebram
PmgK/PmgL = r/w
PmgK/PmgL = 6/24
4PmgK = PmgL
custo de K = 2.(custo L) ------------ cobb douglas: 2/3 = 2(1/3)
cK = 2cL
r.K = w.L.2
6K = 24.L.2
K = 8L
24000 = 1200(K*2/3).(L*1/3) ------- [(8L)*2/3].(L*1/3) ------- [4(L*2/3)].(L*1/3) ------ 4L
24000 = 1200.4.L
L=5
PmgK/PmgL = r/w
>> Em primeiro lugar, vamos resumir as informações do enunciado.
q = 1200K2/3 L1/3
r = 6
w = 24
q = 24.000
>> Como se trata de longo-prazo, os dois insumos (capital e trabalho) são variáveis. A firma minimiza seu custo dado um nível de produção quando a inclinação da isoquanta (TMST = - ΔK / ΔL = PMgL / PMgK) coincide com a inclinação da isocusto (ΔK / ΔL = - w / r). Logo temos:
PMgL / PMgK = w / r (I)
>> w e r já foram fornecidos no enunciado, é preciso descobrir os produtos marginais dos fatores de produção derivando a função de produção em relação a cada um deles:
∂q / ∂K = 1200(2/3)K-1/3L1/3
∂q / ∂K = (2400/3)K-1/3L1/3
∂q / ∂K = 800K-1/3L1/3
∂q / ∂L = 1200(1/3)K2/3L-2/3
∂q / ∂L = 400K2/3L-2/3
>> Vamos substituir todos os valores na expressão (I):
(4
(4/8)KL-1 = 4 (aplicação de propriedades das potências)
(1/2)KL-1 = 4
K / L = 8
K = 8L (II)
>> Agora vamos substituir (II) na função de produção juntamente com a quantidade fornecida no enunciado (24.000):
q = 1.200K2/3L1/3
24.000 = 1.200(8L)2/3L1/3
24.000 / 1.200 = 82/3L2/3L1/3 (aplicação de propriedades das potências)
20 = (raiz cúbica de 82)L1
20 = (raiz cúbica de 64)L
20 = 4L
L = 20 / 4
L = 5
"No longo prazo, a minimização do custo para produzir q = 24.000 unidades envolve a contratação de 5 unidades de mão de obra."
>> Nenhum erro no enunciado.
GABARITO DO PROFESSOR: CERTO.
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