O módulo ρ e o argumento principal θ, -π ≤ θ ≤ π, do comple...

Para representar Z = 2^(1+i) na forma exponencial, deve-se realizar a operação logarítmica:

a^b = e^(ln a^b) = e^b(ln a)

Sendo assim...

Z = 2^(1+i) = e^[ln 2^(1+i)] = e^[(1+i)*ln 2]

Z = (e^ln 2)*(e^i*ln2) -> realizando a distributiva

Z = 2*(e^i*ln2)

Portanto, como a questão quer o produto do módulo com o argumento...

p(rho) = módulo = 2

theta = argumento = ln 2

p*theta= 2ln2 = ln2^2 = ln 4

Para encontrar o módulo ρ e o argumento principal θ do número complexo z = 2(1+i), primeiro precisamos expressar z na forma polar.

A forma polar de um número complexo z é dada por z = ρ (cos θ + i sin θ), onde ρ é o módulo de z e θ é o argumento principal de z.

Para o número complexo dado z = 2(1+i):

z = 2(1+i) = 2 ⋅ sqrt(2) (1/sqrt(2) + i (1/sqrt(2)))

= 2 sqrt(2) (cos π/4 + i sin π/4)

Agora, podemos identificar ρ e θ:

ρ = 2 sqrt(2)

θ = π/4

Então, o produto ρθ é:

ρθ = (2 sqrt(2)) (π/4) = π

Como π é o logaritmo natural de 4, demonstramos que o produto ρθ vale LN 4. Letra E

Para o número complexo dado z = 2(1+i):

z = 2(1+i) = 2 ⋅ sqrt(2) (1/sqrt(2) + i (1/sqrt(2)))

= 2 sqrt(2) (cos π/4 + i sin π/4)

Agora, podemos identificar ρ e θ:

ρ = 2 sqrt(2)

θ = π/4

Então, o produto ρθ é:

ρθ = (2 sqrt(2)) (π/4) = π

Como π é o logaritmo natural de 4, demonstramos que o produto ρθ vale LN 4.

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