No espaço vetorial R² , B1 = n{(1,1),(2,1)} e B2 = {u,v} s...

Vamos escrever os elementos da base B2 como combinação linear dos elementos da base B1:

u = 2 (1,1) + (-1) (2,1) = (0,1) (I)

v = 7 (1,1) + (-4) (2,1) = (-1,3) (II)

<u,v> = < (0,1); (-1,3) > = 0. (-1) + 1.(3) = 0 + 3 = 3

Obs: Os valores 2, -1, 7, -4 são elementos da matriz de mudança de base, lembrando que pegamos a 1° coluna e multiplicamos por (I), e logo após a 2° coluna e multiplicamos por (II). Isso vem da teoria!!

A meu ver ele definiu B1 errado.

B1 deveria ser (1,2)(1,1) para que ele pudesse fazer a operação B2 = B1 MB1->B2 e chegasse no resultado do gabarito

B1 = [ 1 2

...........1 1 ]

Para multiplicar a matriz mudança de base pela direita é preciso colocar os vetores na horizontal.

Se multiplicar pela esquerda encontraria outra matriz de mudança de base, que também serve, mas os vetores da base ficam na vertical

o certo não seria mudar da base B2 para B1??

Apenas complementando, acho que é legal colocar os vetores na forma de matriz.

Para B1 {(1,1),(2,1)}: vamos escrever os vetores coluna

[1 2]

[1 1]

Vamos lembrar o conceito chave de mudança de base: Seja M a matriz mudança de base de b1 para b2, ela pode representada por B2=M.B1 ou pelo sentido contrário, isto é: multiplicar ambos os lambos por M^-1.

=> M.M^-1.B1=B2.M^-1 => B1=M^-1.B2 ; nesse caso M^-1 seria a matriz mudança de base de b2 para b1, mas a questão não solicitou essa análise. Isso foi pedido na prova da Petrobrás 2014. Importante frisar que M^-1 = M^.

Dessa forma, vamos fazer pelo caminho: B2 = M.B1 para achar os vetores coluna u e v.

[1 2] . [2 7]

[1 1] . [-1 -4]

Logo, B2 vai ser igual a:

[0 -1]

[1 3]

Veja bem, u = (0,1) e v = (-1,3) são os vetores coluna. Aplicando o produto interno/escalar: <u,v> = 3

Fazendo B1=M^-1.B2 tbm dá (é mais usual encontrar essa fórmula), estaremos fazendo a msm coisa só q aplicando a inversa 2 vzs (É meio bizonho mas só to treinando msm).

<=> B2=B1/M^-1

M^-1: Sendo M^-1 = [1/det A](adjA)

[4 -7]

[-1 -2]

[M^-1]^-1: Ou seja temos que encontrar a msm matriz M.

[2 7]

[-1 -4]

Obtemos a msm matriz: Ou seja o msm para u e v.

[1 2] . [2 7]

[1 1] .[-1 -4]