Se x e y são números reais, tais que 2 log(x-2y) = logx + l...

2. log(x-2y) = logx + logy

log (x - 2y)2 = log (x.y) ---> (x - 2y)2 = x.y

Desenvolvendo o produto notável:

x2 - 4xy + 4y2 = xy

x2 - 5xy + 4y2 = 0

Como queremos a razão x/y , então uma boa alternativa é dividir a equação acima por y2.

(x/y)2 - 5(x/y) + 4 = 0

Agora, fazendo a mudança de variaveis u = (x / y), apenas com o fim de facilitar o entendimento da questão, rsolvemos a equação:

u2 - 5u + 4 = 0

onde obtemos as raízes

u = 4 e u = 1.

Voltemos a condição de existência:

x > 2y <---> (x / y) > 2

Ora, se (x/y) = u e (x/y) > 2, então u tem que ser maior que 2.

Logo:

u = (x/y) = 4

GABARITO D

Partindo-se de equação x² - 4xy + 4y² = xy podemos chegar a resposta da questão utilizando algebrismo (manipulação formal da equação), veja:

x² - 4xy + 4y² = xy ----> x² - xy = -4y² + 4xy

x (x - y) = 4 (-y² + xy) ----> (x/4) = (-y² + xy)/(x - y)

x/4 = y(-y + x) / ( x - y) (veja que temos termos iguais sendo divididos)

logo, temos x/4 = y ----> x = 4y ----> x/y = 4

Gabarito D

Efraim, de onde você tirou essa condição de existência ?

Vamos resolver esta questão passo a passo:

1) Realizar os cálculos de acordo com a propriedade dos logarítmos:

2 log(x-2y) = logx + logy,

(x – 2y)^2 = xy;

X2 – 4xy + 4y2 = xy;

X2 + 4y2 = 5xy;

X2/XY + 4Y2/XY = 5

X/Y + 4Y/X = 5

2) Substituir X/Y = a

X/Y = a

a + 4/a = 5 ;

a2 + 4 = 5a

a2 – 5a + 4 = 0

3) Sendo as raízes da equação acima a1= 1 e a2= 4, vamos testá-la na equação do enunciado:

X/Y = a (sendo a = 1)

X/Y = 1; X = Y

2 * log (-X) = 2 * log X; log (-X) = log X (F)

Observem que substituindo a = 1, a equação torna-se FALSA. Portanto, X/Y não pode ser igual a 1.

X/Y = 4; então: X= 4Y

2 * log (2Y) = log 4Y + log Y;

Log 4Y2 = log 4Y * Y;

Log 4Y2 = log 4Y2 (V)

Sendo a = 4, a equação fica verdadeira. Portanto, X/Y = 4

GABARITO: D

"DESISTIR NUNCA; RETROCEDER JAMAIS. FOCO NO OBJETIVO SEMPRE."

Mano, eu fui testando os valores. Eliminei a A pq os números não podiam ser iguais, pois o log ia dar negativo. Testei com 2 (ex: 4/2), mas aí o log daria 0, ou seja, indefinido. Tentei com 3 (ex: 9/3, 27/9) mas não deu. Tentei com 4, fiz 8/2 e os resultados bateram. Da mesma forma fiz 16/4, deu certo tbm. Eu preferi usar a lógica, mas vai de cada um. Vlw!