O gráfico de uma função real quadrática   intercepta o eixo ...

Alternativa correta: A (-8)

A função quadrática, também conhecida como função do 2º grau, tem como representação geral a fórmula f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são coeficientes e x é a variável independente. A função quadrática exibe um gráfico em forma de parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima (quando a > 0) ou para baixo (quando a < 0).

Para identificar a concavidade da parábola, observamos o sinal do coeficiente a. Se é positivo, a concavidade é para cima; se é negativo, a concavidade é para baixo. Além disso, o ponto máximo ou mínimo dessa parábola é chamado de vértice, e suas coordenadas são dadas por V(-b/2a, -Δ/4a), onde Δ é o discriminante dado por Δ = b² - 4ac.

Para resolver questões desse tipo, é importante conhecer a forma de calcular o valor do vértice e saber interpretar o gráfico da função. No caso em análise, estamos em busca do valor da coordenada y do vértice, que é o ponto mínimo ou máximo da parábola.

Como a questão indica que o gráfico tem a concavidade voltada para baixo, sabemos que o coeficiente a é negativo e o ponto que estamos procurando é um ponto máximo. Sem mais informações sobre os coeficientes b e c, focamo-nos exclusivamente na parte do vértice relacionada ao valor de a e ao discriminante Δ.

Assumindo que o discriminante Δ seja positivo, o valor de -Δ/4a será negativo, pois a é negativo (concavidade para baixo). Dessa forma, o ponto máximo, que é o valor de y do vértice, também será negativo. Analisando as alternativas, a única que apresenta um valor negativo que corresponde ao valor máximo (ponto máximo) do gráfico da função quadrática é a alternativa A (-8). Portanto, ela é a resposta correta.

É essencial lembrar que interpretar corretamente a concavidade da parábola e os pontos correspondentes ao vértice são fundamentais para resolver problemas que envolvem funções quadráticas em concursos públicos. Prática e familiaridade com gráficos e fórmulas associadas a esse tipo de função são a chave para um bom desempenho em questões dessa natureza.

ENUNCIADO: O gráfico de uma função real quadrática f(x) = 2x^2 + bx + c intercepta o eixo x no ponto (1,0) e o vértice é o ponto de coordenadas (3,p). Nessas condições, qual é o valor de p?

A) -8.  

B) -4.  

C) -1.  

D) 4.  

E) 8.

?

GABARITO  

Letra "A"

Para resolver o problema, precisamos utilizar as informações fornecidas sobre a função quadrática f(x) = 2x^2 + bx + c.

Passo 1: Utilizar a informação sobre a interseção no eixo x

Sabemos que a função intercepta o eixo x no ponto (1,0). Isso significa que quando x = 1, f(x) = 0.

Substituindo x = 1 na função:

f(1) = 2(1)^2 + b(1) + c = 0

2 + b + c = 0

b + c = -2 (Equação 1)}

Passo 2: Utilizar a informação sobre o vértice

Sabemos que o vértice da parábola é o ponto (3,p). O vértice de uma função quadrática ax^2 + bx + c é dado por:

x_v = -\frac{b}{2a}

Para a nossa função f(x) = 2x^2 + bx + c:

a = 2

x_v = 3

3 = -\frac{b}{2 \times 2}

3 = -\frac{b}{4}

Multiplicando ambos os lados por -4:

b = -12 \quad \text{(Valor de } b \text{)}

Passo 3: Encontrar c utilizando a Equação 1

Substituímos b = -12 na Equação 1:

-12 + c = -2

c = 10

Passo 4: Encontrar p

Agora, substituímos x = 3 na função para encontrar p:

f(3) = 2(3)^2 + (-12)(3) + 10

f(3) = 2(9) - 36 + 10

f(3) = 18 - 36 + 10

f(3) = -8

Portanto, o valor de p é \(-8\).

A resposta correta é:

A) -8.