O gráfico de uma função real quadrática   intercepta o eixo ...

ENUNCIADO: O gráfico de uma função real quadrática f(x) = 2x^2 + bx + c intercepta o eixo x no ponto (1,0) e o vértice é o ponto de coordenadas (3,p). Nessas condições, qual é o valor de p?

A) -8.  

B) -4.  

C) -1.  

D) 4.  

E) 8.

?

GABARITO  

Letra "A"

Para resolver o problema, precisamos utilizar as informações fornecidas sobre a função quadrática f(x) = 2x^2 + bx + c.

Passo 1: Utilizar a informação sobre a interseção no eixo x

Sabemos que a função intercepta o eixo x no ponto (1,0). Isso significa que quando x = 1, f(x) = 0.

Substituindo x = 1 na função:

f(1) = 2(1)^2 + b(1) + c = 0

2 + b + c = 0

b + c = -2 (Equação 1)}

Passo 2: Utilizar a informação sobre o vértice

Sabemos que o vértice da parábola é o ponto (3,p). O vértice de uma função quadrática ax^2 + bx + c é dado por:

x_v = -\frac{b}{2a}

Para a nossa função f(x) = 2x^2 + bx + c:

a = 2

x_v = 3

3 = -\frac{b}{2 \times 2}

3 = -\frac{b}{4}

Multiplicando ambos os lados por -4:

b = -12 \quad \text{(Valor de } b \text{)}

Passo 3: Encontrar c utilizando a Equação 1

Substituímos b = -12 na Equação 1:

-12 + c = -2

c = 10

Passo 4: Encontrar p

Agora, substituímos x = 3 na função para encontrar p:

f(3) = 2(3)^2 + (-12)(3) + 10

f(3) = 2(9) - 36 + 10

f(3) = 18 - 36 + 10

f(3) = -8

Portanto, o valor de p é \(-8\).

A resposta correta é:

A) -8.