Sabe-se que a variável aleatória X é bi-modal para x = 1 e ...

Acredito que este gabarito esteja incorreto, mas não consegui encontrar nada sobre anulações ou recurso dessa questão na web. O Gabarito B indica uma probabilidade negativa! Vou colocar como fiz:

Precisamos achar o valor de Lambda, q vou chamar de T. Sabemos que P(X=1) = P(X=2) devido ao fato da distribuição ser bi-modal.

Logo, faremos exp(-T)*T = exp(-T)*T²/2, de onde acharemos que T = 2.

Assim, P(X=3) = P(X=1) + P(X=2) = 2*P(X=1), pois X > 0. Assim, temos 2*P(X=1) = 2*exp(-2)*2¹ = 4*exp(-2), de onde teríamos o gabarito como sendo A, e não B!

O exercício está nos dizendo que a probabilidade de X assumir o valor 1 é igual à probabilidade de assumir o valor 2.

λ=2

Tendo o valor de λ podemos achar a probabilidade de X ser igual a zero. Consequentemente, a probabilidade de X ser diferente de zero é:

P(X≠0)=1−e^−2

Vamos agora calcular a probabilidade de X ser igual a 1. A probabilidade de X ser igual a 2 também é de 2e, pois achamos λ de tal forma que esta igualdade ocorresse.

Queremos calcular a probabilidade de X ser menor que 3, dado que X é diferente de zero.

P(X<3|X≠0)=P(X<3∩X≠0) /P(X≠0)

P(X<3|X≠0)=P(X=1∪X=2) /P(X≠0)

P(X<3|X≠0)=4e^−2 /1−e^−2

Multiplicando o numerador e o denominador por e.

P(X<3|X≠0)= 4 /e^2−1

Isto está exposto na alternativa B.