No curto-prazo, a função custo total médio será representada...

Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão sobre Teoria da Produção. 

A questão nos deu a função Cobb-Douglas Y= K^0,5L^0,5

Uma das propriedades das funções Cobb-Douglas é que os expoentes de K e L nos dizem quanto do orçamento será gasto em cada fator de produção.

Dessa forma, como K e L estão elevados a meio e como 0,5+0,5 = 1, isso significa que a firma alocará metade do seu orçamento para capital e metade do seu orçamento para trabalho.

Segundo o enunciado, o orçamento da firma é de 4 unidades monetárias. Como sabemos, pela função Cobb-Douglas, a firma alocará metade disso para capital e metade para trabalho. Portanto, duas unidades monetárias serão gastas com capital e duas unidades monetárias serão gastas com trabalho.

O enunciado nos disse que r = 1 (pois disse que o preço do capital é normalizado para o valor unitário). Já w é igual a 2, pois segundo o enunciado, w é o dobro do capital).

Assim, a firma usará 2 de capital (2 unidades monetárias divididas pelo preço de capital = 2/1 = 2) e uma unidade de trabalho (2 unidades monetárias divididas pelo preço do trabalho = 2/2 = 1).

Assim, K = 2 e L = 1

Agora, vamos a mais uma etapa.

A função Custo Total é dada por: CT = r.K + w.L

onde r é o custo do capital, K é a quantidade de capital, w é o custo do trabalho e L é a quantidade de trabalho.

Como a questão pede a função custo total de curto prazo, isso significa que um dos fatores de produção será fixo. Vou considerar que o trabalho será fixo (poderia ser o capital também, sem problemas).

Além disso, o enunciado nos diz que w = 2r. Então, vamos substituir isso na função Custo Total:

CT = r.K +2r.L

Como vimos mais acima (e também na Q2113586), serão utilizadas duas unidades de capital. Assim:

CT = r.(2) +2r.L
CT = 2r + 2r.L

O enunciado nos disse que r =1 (quando afirma que o preço do capital é normalizado para o valor unitário). Fazendo r = 1, temos:

CT = 2r + r.L
CT = 2.1 + 2.1.L
CT = 2 + 2L

Mas repare que a função do enunciado está em função da produção (o enunciado afirma que CT = 2Y). Por isso, precisamos colocar a função CT também em função de Y.

A função de produção é:
Y = K^1/2L^1/2

Substituindo K = 2, temos:

Y = 2^1/2L^1/2 

Agora, vamos elevar todos os termos ao quadrado:

Y² = 2L

Isolando o L:

L = Y² / 2

Beleza! Agora, vamos substituir o L na função CT.

Função CT: CT = 2 + 2.L

Substituindo o L:

CT = 2 + 2(Y²/2)

CT = 2 + Y²

Para encontrarmos o custo médio, basta dividir a função CT por Y. Assim:

Cme = CT/Y

Cme = (2 + Y²)/Y

Cme = 2/Y + Y²/Y

Cme = 2/Y + Y

Gabarito: Certo