Dentre as equações das circunferências abaixo, a única que t...

Alternativa correta: D

Vamos explorar o tema central desta questão: circunferências que tangenciam os eixos coordenados. Uma circunferência que tangencia os eixos x e y tem seu centro equidistante de ambos os eixos, ou seja, o raio da circunferência é igual às coordenadas do centro.

Resumo teórico: A equação geral de uma circunferência no plano cartesiano é dada por:
(x - a)² + (y - b)² = r²,
onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o raio.

Se a circunferência tangencia ambos os eixos, então o raio r é igual à coordenada a e à coordenada b do centro. Isso significa que, na forma desenvolvida, os termos lineares da equação da circunferência (-2ax e -2by) devem ser iguais ao dobro do raio.

Vamos analisar a alternativa correta (D): x² + y² - 4x - 4y = -4.

Para identificar o centro e o raio, reescrevemos a equação completando quadrados:

1. x² - 4x pode ser escrito como (x - 2)² - 4.
2. y² - 4y pode ser escrito como (y - 2)² - 4.

Substituindo na equação:
(x - 2)² - 4 + (y - 2)² - 4 = -4
(x - 2)² + (y - 2)² = 4

Assim, a circunferência tem centro em (2, 2) e raio 2, tangenciando os eixos porque seu centro está na mesma distância do eixo x e do eixo y que é o raio.

Análise das alternativas incorretas:

A: x² + y² = 36. É uma circunferência com centro na origem e raio 6. Não tangencia os eixos, pois passa pela origem.

B: x² + y² - 4x - 6y = -4. Ao completar quadrados, o centro não resultará em coordenadas iguais.

C: x² + y² + 4x - 2y = -2. O centro e o raio, após completar quadrados, não garantem que tangencie ambos os eixos.

E: x² + y² + 4x + 4y = -17. Novamente, ao completar quadrados, o centro não fica equidistante para tangenciar ambos os eixos.

Concluindo, a única equação que representa uma circunferência que tangencia os eixos x e y é a Alternativa D.

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