Considere a progressão geométrica finita (a 1 , a 2 , a 3 ,....

De acordo com enunciado tem-se:
termo geral da progressão geométrica: a_n = a₁ x q^n-1
Como a₁ = q/2, tem-se:
a₄ = q/2 x q^4-1 = q/2 x q³ = q⁴/2
a₇ = q/2 x q^7-1 = q/2 x q⁶ = q⁷/2

Como a₇ = 64 x a₄ , substitui-se pelo valores encontrados:
q⁷/2 = 64 x q⁴/2
q⁷ = 64 x q⁴
q³ = 64
q = 4

Finalmente,
a₁₂ = q/2 x q^12-1 = 2 x 4¹¹ = 2 x 2²⁽¹¹⁾ = 2 x 2²² = 2²³


Resposta D)

a7 = 64.a4
a7 = a4.2⁶
a7 = a4.q³
q³ = 64
q = 4
Se a1 é a metade da razão, então a1 = 2
Logo, a12 = 2.4¹¹
a12 = 2.2²² ou 2²³
Gabarito D

Carlos como você achou a razão q dessa PG?

Graziela,  a7 - a4 é igual ao expoente da razão . Substituindo, q^3 corresponde a 64, q = 4.

a7=64.a4

a1.q6=2^6.a1.q3

2^6=a1.q6/a1.q3

2^6=q6-3

2^6=q3

q=3√2^6

q=2^2

a12=a1.q^11

a12= 2.(2^2)^11

a12=2.2^22= 2^23

Achei muito confuso as explicações desses comentários, então procurei na internet e achei uma explicação melhor.

Texto retirado daqui = https://s3-us-west-2.amazonaws.com/estrategia-blog/2015/03/Resolu%C3%A7%C3%A3o-da-prova.pdf

O primeiro termo vale metade da razão, ou seja, a1 = q/2.

O sétimo termo é a7= 64 x a4.

Sabemos que para ir de a4 até o a7 precisamos multiplicar 3 vezes pela razão, ou seja, a7 = a4 x q^3.

Comparando essa expressão com a7= a4 x 64, vemos que:

q^3= 64
q^3=4^3, logo

q = 4 

Então, a1= q/2 = 4/2 = 2.

O 12º termo dessa progressão é só jogar na formula básica de P.G.:

an= a1x q^(n-1)

a12= 2 x 4^(12-1)
a12= 2 x 4^11
a12= 2 x (2^2)^11
a12 = 2 x 2^22
a12 = 2^23

Letra: D