Se X e Y tem função de probabilidade conjunta dada por:

Em primeiro lugar devemos ter em mente que: cov(2x,2y)= 2.2.cov(x,y) = 4cov(x,y)  ---> pois os 2 de 2x e 2y devem ser colocados em evidência e então multiplicados.

Então: cov(2x,2y) = 4cov(x,y) = 4.[E(xy) - E(x).E(y)]

Considerando os pares ordenados (0,0), (0,1) e (1,1), temos que:
E(x) = (x=0).P(x=0) + (x=0).P(x=0) + (x=1).P(x=1) = 0.1/3 + 0.1/3 + 1.1/3 = 1/3
E(y) = (y=0).P(y=0) + (y=1).P(y=1) + (y=1).P(y=1) = 0.1/3 + 1.1/3 + 1.1/3 = 2/3
E(xy) = (x=0).(y=0).P(x=0,y=0) + (x=0).(y=1).P(x=0,y=1) + (x=1).(y=1).P(x=1,y=1) = 0.0.1/3 + 0.1.1/3 + 1.1.1/3 = 1/3

Deste modo, cov(2x,2y) = 4.[1/3 - 1/3.2/3]=4.[1/3 - 2/9] = 4.1/9 = 4/9 (D)

distribuição de probabilidade marginal de X. Ou seja:P(X=0)=2/3; P(X=1)=1/3

Isso nos permite calcular a esperança de X:

E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=1×1/3=1/3

a distribuição de probabilidade marginal de Y.P(Y=0)=1/3; P(Y=1)=2/3

Isso nos permite calcular a esperança de Y:

E(Y)=0×P(Y=0)+1×P(Y=1)=1×2/3=2/3

Finalmente, o produto XY assume o valor 1 com chance 1/3. Basta ver que a única situação em que isso ocorre é quando X =1 e Y = 1. Em todos os demais casos, tal produto assume valor 0.

E(XY)=0×P(XY=0)+1×P(XY=1)=1×1/3=1/3

Podemos então calcular a covariância:

cov(X,Y)=E(XY)−E(X)×E(Y)=1/9

Mas a questão pediu na verdade cov(2X,2Y)

cov(2X,2Y)=2×2×cov(X,Y)=4/9

 

Resposta: D