A equação do segundo grau dada por y = x2 + 2(k +1)x+ 1, co...

Fazendo a substituição, tanto no caso do 0 quanto do -2, o b será igual a 2 e o delta igual a 0, sendo assim, em x = – b ± √Δ/2.a ,temos: x¹= -1; x²= -1

para as raízes serem iguais e reais o determinante Δ deve ser igual a zero, logo:

Δ = 0

Δ = (2k + 2)² - 4

Δ = 4k² + 8k + 4 - 4

Δ = 4(k² + 2k)

Δ = k² + 2k

Δ = k(k + 2)

k(k + 2) = 0

k = 0 ou k = -2

Só complementando o comentário do Vinícius Delfin, pois pode causar algumas dúvidas, caso apareça algumas pessoas que não tiveram um contato prévio com a matéria, devido ao fato de que alguns conceitos básicos foram omitidos.

Enunciado: A equação do segundo grau dada por y = x² + 2(k +1)x+ 1, com k ∈ ℝ, possui duas raízes reais e iguais, se k for ?

I) Definição da equação do 2º grau:

f(x) = ax² + bx + c

equaçaõ dada pelo enunciado:

y = x² + 2(k +1)x+ 1

a: valor que está elevado ao quadrado ⭢ x² ⭢ 1

b: valor que está acompanhado do x ⭢ 2(k+1)x ⭢ 2(k+1)

c: termo independente, não está acompanhado por nenhuma incognita ⭢ 1

II) Encontrando o valor de k

o enunciado me disse que a equação possui duas raízes reais e iguais, logo, o Δ deve ser igual a 0, se liga:

Δ > 0 (2 raízes reais e diferentes)

Δ = 0 (2 raízes reais e iguais)

Δ < 0 não possui raízes reais

Δ = b² - 4 . a . c

⮑ substituir os valores encontrados dos termos nessa equação e igualar a 0

b = 2(k+1)

a = 1

c = 1

0 = [2(k+1)]² - 4 . 1 . 1 ⭢ O termo destacado está elevado ao quadrado. Portanto, é necessário elevar tudo que está dentro do colchentes ao seu quadrado

0 = [4(k+1)²] - 4 ⭢ O termo destacado se refere a um produto notável, que é o quadrado da soma, ou seja, matematicamente falando temos o seguinte: (k+1)² = k² + 2.k.1 + 1² = k² + 2k +1 ⭢ Quadrado do 1º + 2 vezes o 1º, vezes o 2º + quadrado do segundo

0 = [4. (k² + 2k + 1)] - 4 ⭢ Aqui se aplica a distributiva, cada termo que estar dentro do parênteses será multiplicado por 4

0 = 4k² + 8k + 4 - 4

0 = 4k² + 8k ⭢ Observe bem, dentro do parênteses a um termo que está se repetindo, que nesse é o k, logo, devemos colocá-lo em evidência

0 = k(4k + 8)

Agora, finalmente, chegamos ao fim desse Caralh#

Na equação, nós temos 2 possíveis valores para o K:

1º - k = 0

ou

2º - 4k +8 = 0

k = -8/4

k = -2

Gente, desculpem me pela explicação longa, tentei ser o mais detalhado possível, caso haja alguma incoerência ou dúvida em relação a minha resolução, podem me mandar uma DM.

David Aires, vc é um anjo, colega!!! muito obrigada pela explicação!!