O primeiro termo de uma progressão geométrica é 1/250 . Sab...

a1=1/[2^(50)]

a9=1/[2^(34)]

q= (9-1)sqrt(a9/a1)

q= 8sqrt({1/[2^(50)]}/{1/[2^(34)]})

q= raiz oitava de 2^50/2^34 = base 2 e subrai os expoentes (50-24)

q= raiz oitava de 2^16

Como 16 e 8 são múltiplos de 2 temos que 16=2x2x2x2

Para sumir a raiz teremos apenas 2^2=4, pois 2x2x2=8

não entendi a parte final, tem como explicar ?

Esse exercício é mais algebra do que formula, aplica A9 = A1.q^8 , o resto é algebra. 

a9=a1xq^8 ------->    1/2^34=1/2^50xq^8                    ^:elevado

A9=A1.R^N-1

1/2^50 = 1/2^34 . R^9-1

1/2^50 = 1/2^34 . R^8

R^8 = 1/2^34 / 1/2^50 ---> repete a base e subtrai os expoentes ---> 1/2^34 – 50 = 1/2^-16, o expoente está negativo, inverte a fração

R^8 = 2^16, simplifica os expoentes 8:8=1 --- 16:8=2

R=2^2

R=4