Um jardim que tem um formato de círculo possui dois caminhos...

Para resolver esse problema, utilizaremos a propriedade das cordas de um círculo:

Se duas cordas de um círculo se cruzam, o produto dos comprimentos dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos da outra corda. Matematicamente:

Produto dos segmentos de uma corda=Produto dos segmentos da outra corda.\text{Produto dos segmentos de uma corda} = \text{Produto dos segmentos da outra corda}.Produto dos segmentos de uma corda=Produto dos segmentos da outra corda.

As cordas são divididas nos seguintes segmentos:

1. Primeira corda: xxx e x+4x + 4x+4,
2. Segunda corda: x−5x - 5x−5 e 3x−23x - 23x−2.

Pela propriedade das cordas:

Expansão dos dois lados:

x⋅(x+4)=x2+4x.x \cdot (x + 4) = x^2 + 4x.x⋅(x+4)=x2+4x.

(x−5)⋅(3x−2)=x⋅(3x−2)−5⋅(3x−2).(x - 5) \cdot (3x - 2) = x \cdot (3x - 2) - 5 \cdot (3x - 2).(x−5)⋅(3x−2)=x⋅(3x−2)−5⋅(3x−2).(x−5)⋅(3x−2)=3x2−2x−15x+10=3x2−17x+10.(x - 5) \cdot (3x - 2) = 3x^2 - 2x - 15x + 10 = 3x^2 - 17x + 10.(x−5)⋅(3x−2)=3x2−2x−15x+10=3x2−17x+10.

Agora, igualamos os dois lados:

x2+4x=3x2−17x+10.x^2 + 4x = 3x^2 - 17x + 10.x2+4x=3x2−17x+10.

Organizando tudo em um único lado da equação:

A equação é:

2x2−21x+10=0.2x^2 - 21x + 10 = 0.2x2−21x+10=0.

Usaremos a fórmula de Bhaskara:

x=−b±b2−4ac2a.x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.x=2a−b±b2−4ac​​.

Os coeficientes são:

• a=2a = 2a=2,
• b=−21b = -21b=−21,
• c=10c = 10c=10.

Calculando o discriminante (Δ\DeltaΔ):

Δ=b2−4ac=(−21)2−4(2)(10)=441−80=361.\Delta = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4(2)(10) = 441 - 80 = 361.Δ=b2−4ac=(−21)2−4(2)(10)=441−80=361.

Calculando xxx:

x=−(−21)±3612(2)=21±194.x = \frac{-(-21) \pm \sqrt{361}}{2(2)} = \frac{21 \pm 19}{4}.x=2(2)−(−21)±361​​=421±19​.

Resolvendo para os dois valores:

Como os segmentos das cordas devem ser positivos, escolhemos x=10x = 10x=10, pois x=0.5x = 0.5x=0.5 resultaria em medidas negativas para alguns segmentos.

Com x=10x = 10x=10:

1. Primeira corda: x=10x = 10x=10 e x+4=14x + 4 = 14x+4=14.
2. Comprimento da primeira corda:
3. 10+14=24.10 + 14 = 24.10+14=24.
4. Segunda corda: x−5=10−5=5x - 5 = 10 - 5 = 5x−5=10−5=5 e 3x−2=3(10)−2=283x - 2 = 3(10) - 2 = 283x−2=3(10)−2=28.
5. Comprimento da segunda corda:
6. 5+28=33.5 + 28 = 33.5+28=33.

O comprimento da menor das cordas é 24 metros.